Арксинус — математическая функция¶
Арксинус (обозначение: arcsin, sin⁻¹) — это обратная функция к синусу, определённая на отрезке [−1; 1] с областью значений [−π/2; π/2]. Арксинус числа x — это угол (или дуга), синус которого равен x. Функция относится к классу элементарных трансцендентных функций и является частным случаем арктангенса и арккосинуса.
¶Определение и область определения
Синус — не взаимно однозначная функция: его периодичность означает, что у одного значения синуса бесконечно много аргументов. Чтобы сделать функцию обратимой, синус ограничивают монотонным участком, обычно [−π/2; π/2]. На этом отрезке синус возрастает от −1 до 1, и для каждого x ∈ [−1; 1] существует ровно один аргумент y ∈ [−π/2; π/2], такой что sin y = x. Этот аргумент и называется арксинусом x.
Таким образом:
- область определения: [−1; 1];
- область значений: [−π/2; π/2] (или [−90°; 90°] в градусной мере).
Значения арксинуса за пределами [−1; 1] не определены, так как синус любого действительного числа не выходит за эти границы.
¶Основные свойства
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Чётность | arcsin(−x) = −arcsin(x) |
| Синус арксинуса | sin(arcsin x) = x при x ∈ [−1; 1] |
| Арксинус синуса | arcsin(sin y) = y при y ∈ [−π/2; π/2] |
| Сумма арксинусов | arcsin x + arcsin y = arcsin(x√(1−y²) + y√(1−x²)) при x² + y² ≤ 1 |
| Связь с арккосинусом | arcsin x + arccos x = π/2 |
| Связь с арктангенсом | arcsin x = arctg(x / √(1−x²)) |
Производная арксинуса:
arcsin′(x) = 1 / √(1 − x²), при |x| < 1.
На концах интервала (x = ±1) производная обращается в бесконечность, что соответствует вертикальной касательной к графику в точках (−1; −π/2) и (1; π/2).
¶Ряд Тейлора
В окрестности нуля арксинус разворачивается в ряд:
arcsin x = x + (1/6)x³ + (3/40)x⁵ + (5/112)x⁷ + …
Общий член ряда:
arcsin x = Σ (C(2n, n) / (4ⁿ (2n+1))) · x^(2n+1), где n = 0, 1, 2, …
Ряд сходится при |x| ≤ 1, хотя на концах интервала сходимость медленная.
¶График
График арксинуса — ветвь синусоиды, «перевёрнутая» относительно прямой y = x. Он проходит через начало координат, точку (1; π/2) и точку (−1; −π/2), симметричен относительно начала координат (функция нечётная). В точке x = 0 касательная имеет угловой коэффициент 1, то есть касается прямой y = x. Кривая выпукла на [0; 1] и вогнута на [−1; 0].
¶Связь с другими обратными тригонометрическими функциями
Арксинус тесно связан с арккосинусом и арктангенсом:
- arccos x = π/2 − arcsin x;
- arctg x = arcsin(x / √(1 + x²));
- arcsin x = arctg(x / √(1 − x²)) при |x| < 1.
Эти соотношения позволяют выразить любую из трёх функций через две другие и широко используются при интегрировании и решении тригонометрических уравнений.
¶Применение
Арксинус применяется в математическом анализе, физике и инженерии:
- при вычислении углов по известным катетам и гипотенузе (задачи триангуляции);
- в теории волн и колебаний — для определения фазы гармонического сигнала;
- в задачах стереометрии и геометрии — для нахождения углов между прямыми и плоскостями;
- в компьютерной графике — при преобразованиях координат и вычислении освещения;
- в статистике и теории вероятностей — при работе с нормальным распределением (например, в формуле обратной функции распределения).
¶Интересные факты
- Значение arcsin(1/2) равно π/6 (30°), arcsin(√2/2) — π/4 (45°), arcsin(√3/2) — π/3 (60°). Эти значения соответствуют углам правильного треугольника.
- Обозначение arcsin происходит от «arcus sinus» — «дуга, отвечающая синусу», что отражает геометрическую интерпретацию функции как дуги единичной окружности.
- В вычислительной практике арксинус часто вычисляется через арктангенс, так как алгоритмы арктангенса (например, алгоритм CORDIC) обычно численно устойчивее.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 1.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.
- Рудин У. Основы математического анализа.