Базис тензорного произведения

Базис тензорного произведения — это система векторов в тензорном произведении векторных пространств, порождённая базисами исходных пространств, и сама являющаяся базисом этого произведения. Тензорное произведение является фундаментальной конструкцией в линейной алгебре, функциональном анализе, дифференциальной геометрии и теоретической физике, позволяющей строить новые векторные пространства из заданных. Базис тензорного произведения обеспечивает координатное представление тензоров и служит основой для вычислений с полилинейными формами.

Определение и построение

Пусть \( V \) и \( W \) — два конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем \( \mathbb{F} \) (например, полем действительных чисел \( \mathbb{R} \) или комплексных чисел \( \mathbb{C} \)). Тензорное произведение \( V \otimes W \) — это векторное пространство, состоящее из формальных сумм элементарных тензоров вида \( v \otimes w \), где \( v \in V \), \( w \in W \), с определёнными правилами билинейности:

• \( (v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w \)
• \( v \otimes (w_1 + w_2) = v \otimes w_1 + v \otimes w_2 \)
• \( (\alpha v) \otimes w = v \otimes (\alpha w) = \alpha (v \otimes w) \) для любого скаляра \( \alpha \in \mathbb{F} \).

Если \( \{e_1, e_2, \dots, e_m\} \) — базис пространства \( V \), а \( \{f_1, f_2, \dots, f_n\} \) — базис пространства \( W \), то множество всех элементарных тензоров вида \( e_i \otimes f_j \) (где \( i = 1, \dots, m \), \( j = 1, \dots, n \)) образует базис тензорного произведения \( V \otimes W \). Размерность этого пространства равна произведению размерностей исходных пространств: \( \dim(V \otimes W) = \dim V \cdot \dim W = m \cdot n \).

Любой тензор \( T \in V \otimes W \) может быть единственным образом разложен по этому базису:

\[ T = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} T^{ij} \, (e_i \otimes f_j), \]

где \( T^{ij} \in \mathbb{F} \) — координаты тензора (компоненты) в данном базисе. Таким образом, базис тензорного произведения позволяет сопоставить каждому тензору матрицу его координат размера \( m \times n \).

Примеры

Пример 1: Двумерные пространства

Пусть \( V = \mathbb{R}^2 \) со стандартным базисом \( \{e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)\} \), а \( W = \mathbb{R}^3 \) с базисом \( \{f_1 = (1,0,0), f_2 = (0,1,0), f_3 = (0,0,1)\} \). Тогда базис тензорного произведения \( \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3 \) состоит из шести элементов:

\[ e_1 \otimes f_1, \; e_1 \otimes f_2, \; e_1 \otimes f_3, \; e_2 \otimes f_1, \; e_2 \otimes f_2, \; e_2 \otimes f_3. \]

Любой тензор в этом пространстве может быть представлен матрицей \( 2 \times 3 \).

Пример 2: Пространство матриц

Тензорное произведение \( \mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n \) изоморфно пространству вещественных матриц размера \( m \times n \). При этом элементарный тензор \( v \otimes w \) соответствует матрице \( v w^T \) (внешнему произведению векторов). Базисные тензоры \( e_i \otimes f_j \) соответствуют матричным единицам \( E_{ij} \), у которых на позиции \( (i,j) \) стоит 1, а остальные элементы равны 0.

Свойства базиса тензорного произведения

Линейная независимость

Набор \( \{e_i \otimes f_j\} \) линейно независим: если линейная комбинация \( \sum_{i,j} \alpha_{ij} (e_i \otimes f_j) = 0 \), то все коэффициенты \( \alpha_{ij} \) равны нулю. Это следует из билинейности и независимости исходных базисов.

Порождение

Любой элементарный тензор \( v \otimes w \) можно разложить по базису: если \( v = \sum_i v^i e_i \), \( w = \sum_j w^j f_j \), то \( v \otimes w = \sum_{i,j} v^i w^j (e_i \otimes f_j) \). Суммы таких тензоров покрывают всё пространство.

Зависимость от выбора базисов

Базис тензорного произведения зависит от выбора базисов в \( V \) и \( W \). При замене базисов координаты тензора преобразуются по закону, характерному для тензоров типа (2,0) (дважды контравариантных). Если в \( V \) производится замена с матрицей \( A \), а в \( W \) — с матрицей \( B \), то координаты \( T^{ij} \) преобразуются как \( (T')^{ij} = \sum_{k,l} A^i_k B^j_l T^{kl} \).

Обобщения

Тензорное произведение нескольких пространств

Для \( k \) векторных пространств \( V_1, V_2, \dots, V_k \) тензорное произведение \( V_1 \otimes V_2 \otimes \dots \otimes V_k \) имеет базис, состоящий из всех элементарных тензоров вида \( e_{i_1}^{(1)} \otimes e_{i_2}^{(2)} \otimes \dots \otimes e_{i_k}^{(k)} \), где \( \{e_{i_s}^{(s)}\} \) — базис \( V_s \). Размерность равна произведению размерностей всех пространств.

Бесконечномерные пространства

В функциональном анализе для бесконечномерных гильбертовых пространств тензорное произведение определяется с пополнением (гильбертово тензорное произведение). В этом случае базис тензорного произведения строится как ортонормированный базис из тензорных произведений элементов ортонормированных базисов исходных пространств. Например, для пространств \( L^2([0,1]) \) и \( L^2([0,1]) \) базис образуют функции \( \phi_i(x) \psi_j(y) \), где \( \{\phi_i\} \) и \( \{\psi_j\} \) — ортонормированные базисы.

Тензорное произведение модулей

В абстрактной алгебре тензорное произведение определяется для модулей над кольцом. Базис тензорного произведения существует, если модули свободны (имеют базис). В противном случае тензорное произведение может не иметь базиса и быть не свободным модулем.

Применение

Физика и механика

В механике сплошных сред и теории упругости тензоры напряжений и деформаций представляются в базисе тензорного произведения. Например, тензор напряжений Коши \( \sigma \) в трёхмерном пространстве имеет компоненты \( \sigma_{ij} \), соответствующие базису \( e_i \otimes e_j \).

Квантовая механика

В квантовой механике состояние составной системы (например, двух частиц) описывается вектором в тензорном произведении гильбертовых пространств отдельных частиц. Базис тензорного произведения соответствует собственным состояниям наблюдаемых каждой подсистемы. Например, для двух спинов 1/2 базис состоит из четырёх состояний: \( |\uparrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle \), \( |\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle \), \( |\downarrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle \), \( |\downarrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle \).

Вычислительная математика

В численных методах тензорные разложения (например, разложение Такера, CP-разложение) используют базисы тензорных произведений для аппроксимации многомерных данных. Это позволяет эффективно хранить и обрабатывать массивы большой размерности.

Источники

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматлит, 1963.