Бета-функция

Бета-функция (также известная как интеграл Эйлера первого рода) — это специальная математическая функция двух переменных, определяемая интегралом Эйлера первого рода. Широко используется в теории вероятностей, математической статистике, комбинаторике, теории чисел и математической физике. Бета-функция тесно связана с гамма-функцией, что позволяет выражать её значения через значения гамма-функции.

Определение

Бета-функция \( B(x, y) \) для комплексных чисел \( x \) и \( y \) с положительной действительной частью (\( \Re(x) > 0, \Re(y) > 0 \)) определяется интегралом:

\[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt. \]

Этот интеграл сходится при указанных условиях и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением точек, где \( x \) или \( y \) являются неположительными целыми числами.

Симметрия

Бета-функция симметрична относительно своих аргументов:

\[ B(x, y) = B(y, x). \]

Это свойство непосредственно следует из замены переменной \( t \to 1 - t \) в определённом интеграле.

Связь с гамма-функцией

Наиболее важное соотношение, связывающее бета- и гамма-функции, имеет вид:

\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}, \]

где \( \Gamma(z) \) — гамма-функция. Это тождество позволяет вычислять бета-функцию для любых значений аргументов, для которых определена гамма-функция, и является основой для многих приложений.

Следствия из связи

Из этого соотношения вытекают многие свойства бета-функции. Например, для натуральных чисел \( m \) и \( n \):

\[ B(m, n) = \frac{(m-1)! (n-1)!}{(m+n-1)!}. \]

Также, используя известные значения гамма-функции в полуцелых точках (\( \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \)), можно получить:

\[ B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi. \]

Интегральные представления

Помимо классического определения, существуют другие интегральные представления бета-функции, полезные в различных контекстах.

Тригонометрическое представление

С помощью замены \( t = \sin^2 \theta \) получается:

\[ B(x, y) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta \, d\theta. \]

Это представление часто используется в задачах, связанных с тригонометрическими интегралами.

Представление через интеграл по полуоси

\[ B(x, y) = \int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} \, dt. \]

Эта форма получается заменой \( t = \frac{u}{1+u} \) и удобна для аналитического продолжения.

Свойства

Функциональные уравнения

Бета-функция удовлетворяет нескольким функциональным уравнениям. Например:

\[ B(x, y) = B(x+1, y) + B(x, y+1). \]

Также справедливо рекуррентное соотношение:

\[ B(x, y) = \frac{x-1}{x+y-1} B(x-1, y), \quad B(x, y) = \frac{y-1}{x+y-1} B(x, y-1). \]

Разложение в ряд

Для \( |x| < 1 \) и \( y > 0 \) бета-функция может быть представлена в виде бесконечного ряда:

\[ B(x, y) = \frac{1}{y} \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-x)_n}{n! (y+n)}, \]

где \( (a)_n \) — символ Похгаммера (возрастающий факториал).

Логарифмическая производная

Логарифмическая производная бета-функции выражается через дигамма-функцию \( \psi(z) \):

\[ \frac{\partial}{\partial x} \ln B(x, y) = \psi(x) - \psi(x+y). \]

Частные значения

Для некоторых конкретных значений аргументов бета-функция вычисляется в замкнутой форме:

• \( B(1, 1) = 1 \).
• \( B(1, n) = \frac{1}{n} \) для натурального \( n \).
• \( B(n, m) = \frac{(n-1)! (m-1)!}{(n+m-1)!} \) для натуральных \( n, m \).
• \( B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi \).
• \( B\left(\frac{1}{2}, n\right) = \frac{2^{2n-1} (n-1)!}{(2n-1)!!} \pi \), где \( (2n-1)!! \) — двойной факториал.

Применение

В теории вероятностей и статистике

Бета-функция является нормировочной константой для бета-распределения, которое задаётся плотностью:

\[ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}, \quad 0 \le x \le 1. \]

Бета-распределение широко используется в байесовской статистике как сопряжённое априорное распределение для биномиального параметра. Также бета-функция входит в определение распределения Фишера (F-распределения) и распределения Стьюдента.

В комбинаторике

Бета-функция связана с биномиальными коэффициентами:

\[ \frac{1}{(n+1) B(n+1-k, k+1)} = \binom{n}{k}. \]

Это соотношение используется при анализе комбинаторных тождеств.

В теории чисел

Бета-функция возникает при вычислении некоторых интегралов, связанных с дзета-функцией Римана. Например:

\[ \int_0^1 \frac{x^{a-1} (1-x)^{b-1}}{1-x} \, dx = B(a, b) \cdot {}_2F_1(1, a; a+b; 1), \]

где \( {}_2F_1 \) — гипергеометрическая функция Гаусса.

В математической физике

Бета-функция появляется при вычислении интегралов, возникающих в квантовой теории поля, например, при регуляризации диаграмм Фейнмана. В частности, она используется в методе размерной регуляризации для выделения расходимостей.

В теории струн

В теории струн бета-функция используется при описании амплитуд рассеяния. Например, амплитуда Венециано, описывающая рассеяние четырёх тахионов в бозонной струне, выражается через бета-функцию:

\[ A(s, t) = B(-\alpha(s), -\alpha(t)), \]

где \( \alpha(s) \) — траектория Редже.

Неполная бета-функция

Наряду с полной бета-функцией, существует неполная бета-функция, определяемая как:

\[ B(x; a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt, \quad 0 \le x \le 1. \]

Регуляризованная неполная бета-функция:

\[ I_x(a, b) = \frac{B(x; a, b)}{B(a, b)} \]

используется в статистике как функция распределения бета-распределения и для вычисления кумулятивных вероятностей биномиального и отрицательного биномиального распределений.

Обобщения

Существует несколько обобщений бета-функции:

• Многомерная бета-функция (функция Дирихле) для \( n \) переменных:

\[ B(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \frac{\Gamma(\alpha_1) \cdots \Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n)}. \]

• q-бета-функция (базисная бета-функция), обобщение на случай квантовых групп и q-исчисления.

• Бета-функция Лерха, связанная с дзета-функцией Гурвица.

История

Бета-функция была введена Леонардом Эйлером в 1760-х годах в его работах по интегральному исчислению. Эйлер изучал интегралы вида \( \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, dx \) и установил их связь с гамма-функцией. Название «бета-функция» было предложено Жаком Бине в 1839 году. В XIX веке функция систематически изучалась в работах Карла Фридриха Гаусса, Адриена Мари Лежандра и Нильса Хенрика Абеля. В XX веке бета-функция нашла широкое применение в статистике (благодаря работам Рональда Фишера) и в теоретической физике.

Источники

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматлит, 1963.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1: Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. — М.: Наука, 1973.
• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
• Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. — М.: Госстатиздат, 1958.
• Прасолов В. В. Элементы теории функций комплексной переменной. — М.: МЦНМО, 2019.