Гамма-функция

Гамма-функция (обозначается греческой буквой Γ, Γ(x)) — это математическая функция, которая расширяет понятие факториала на область действительных (и комплексных) чисел, за исключением целых неположительных. Для натуральных чисел n выполняется соотношение Γ(n) = (n−1)!. Гамма-функция является одной из важнейших специальных функций математического анализа, широко применяется в теории вероятностей, статистической физике, теории чисел и других разделах математики.

Определение и основные свойства

Гамма-функция определяется интегралом Эйлера второго рода для комплексных чисел z с положительной действительной частью (Re(z) > 0):

Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt

Этот интеграл сходится для всех z, у которых Re(z) > 0, и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением точек z = 0, −1, −2, −3, …, где функция имеет простые полюсы. Аналитическое продолжение может быть получено с помощью функционального уравнения:

Γ(z+1) = z Γ(z)

Из этого уравнения непосредственно следует, что для целых положительных n:

Γ(n) = (n−1)!

Например, Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ(4) = 6, Γ(5) = 24 и так далее.

Другие важные свойства:

• Γ(1/2) = √π
• Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(πz) (формула дополнения)
• Γ(z) Γ(z+1/2) = √π 2^(1−2z) Γ(2z) (формула удвоения Лежандра)
• Γ(z) не имеет нулей на всей комплексной плоскости.

История

Понятие гамма-функции впервые было введено швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 1729 году в письме к немецкому математику Кристиану Гольдбаху. Эйлер решал задачу интерполяции факториала: он искал функцию, которая для целых чисел давала бы факториал, а для нецелых — некое «промежуточное» значение. Он предложил интегральное представление, которое впоследствии получило название интеграла Эйлера второго рода.

В начале XIX века французский математик Адриен Мари Лежандр ввел современное обозначение Γ(z) и название «гамма-функция». Он также вывел формулу удвоения, носящую его имя. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс предложил другое определение через произведение, а немецкий математик Бернхард Риман использовал гамма-функцию при изучении дзета-функции, что привело к её широкому применению в аналитической теории чисел.

Представления

Существует несколько эквивалентных представлений гамма-функции, помимо интегрального:

• Произведение Гаусса (для Re(z) > 0):

Γ(z) = lim_{n→∞} (n! n^z) / (z (z+1) (z+2) … (z+n))

• Формула Вейерштрасса (справедлива для всех комплексных z, не являющихся целыми неположительными):

1/Γ(z) = z e^(γz) ∏_{n=1}^∞ (1 + z/n) e^(−z/n) где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (приблизительно 0,5772).

• Интеграл Эйлера первого рода (бета-функция):

B(x, y) = ∫₀¹ t^(x−1) (1−t)^(y−1) dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y)

График и асимптотическое поведение

График гамма-функции на действительной оси имеет характерный вид. Для положительных x функция Γ(x) выпукла вниз, имеет единственный минимум в точке x ≈ 1,4616, где Γ(x) ≈ 0,8856. Для x → 0+ функция стремится к +∞. Для x → +∞ Γ(x) растёт быстрее любой экспоненты.

Для больших значений аргумента используется приближение Стирлинга:

Γ(z+1) ≈ √(2πz) (z/e)^z

Это приближение широко применяется в статистической физике и комбинаторике для оценки факториалов больших чисел.

На отрицательной полуоси функция Γ(x) имеет разрывы второго рода (полюсы) в целых неположительных точках: x = 0, −1, −2, −3, … В промежутках между полюсами функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Применение

Гамма-функция является фундаментальным инструментом во многих областях:

• Теория вероятностей и статистика: гамма-распределение, распределение хи-квадрат, t-распределение Стьюдента, F-распределение — все эти распределения выражаются через гамма-функцию. Она используется при вычислении плотностей вероятностей и моментов распределений.

• Теория чисел: гамма-функция тесно связана с дзета-функцией Римана через функциональное уравнение. Она также появляется в аналитической теории чисел при изучении L-функций Дирихле.

• Математическая физика: гамма-функция используется при решении дифференциальных уравнений, в квантовой механике (например, в вычислениях интегралов от гауссовых функций), в теории струн и в квантовой теории поля.

• Комбинаторика: гамма-функция позволяет обобщить биномиальные коэффициенты на нецелые аргументы с помощью бета-функции.

• Численные методы: гамма-функция реализована во всех основных математических пакетах (Matlab, Mathematica, SciPy) и библиотеках языков программирования (C++, Python, Fortran). Для её вычисления используются алгоритмы, основанные на рядах и аппроксимациях, например, аппроксимация Ланцоша.

Связанные функции

• Бета-функция B(x, y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y) — обобщение биномиального коэффициента.
• Неполная гамма-функция γ(s, x) = ∫₀^x t^(s−1) e^(−t) dt — используется в статистике и теории вероятностей.
• Полигамма-функции ψ^(n)(z) — производные логарифма гамма-функции. ψ(z) = d/dz ln Γ(z) называется дигамма-функцией.
• Логарифмическая производная гамма-функции ψ(z) — важна в теории чисел и при суммировании рядов.

Интересные факты

• Гамма-функция не является единственной функцией, интерполирующей факториал. Однако, согласно теореме Бора — Моллерупа, она является единственной такой функцией, которая логарифмически выпукла для положительных x и удовлетворяет функциональному уравнению Γ(x+1) = x Γ(x) с начальным условием Γ(1) = 1.
• Значение Γ(1/2) = √π было получено Эйлером и является одним из важнейших результатов, связывающих гамма-функцию с геометрией.
• Гамма-функция не имеет нулей, но её обратная величина 1/Γ(z) является целой функцией (аналитична на всей комплексной плоскости).
• В квантовой механике гамма-функция появляется при вычислении интегралов от сферических функций и в теории углового момента.

Источники

• Эйлер Л. «Введение в анализ бесконечных». — М.: Физматлит, 1961.
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. «Курс современного анализа». — М.: Физматлит, 1963.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Том 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра». — М.: Наука, 1973.
• Абрамовиц М., Стиган И. «Справочник по специальным функциям». — М.: Наука, 1979.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений». — М.: Физматлит, 1971.