Бипирамида¶

Бипирамида — это многогранник, образованный двумя пирамидами, имеющими общее основание, при этом вершины пирамид расположены по разные стороны от плоскости этого основания. В геометрии бипирамида является частным случаем диэдрально-симметричного многогранника и относится к классу призматоидов. В зависимости от формы основания различают треугольные, квадратные, пятиугольные и другие бипирамиды. Бипирамиды широко встречаются в кристаллографии, архитектуре, теории игр и математическом моделировании.

¶История и происхождение термина

Понятие бипирамиды возникло в античной геометрии, однако систематическое изучение таких многогранников началось в эпоху Возрождения. В 1619 году немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер в своей работе «Гармония мира» описал бипирамиды как тела, получаемые соединением двух пирамид. Термин «бипирамида» (от лат. bis — дважды и греч. πυραμίς — пирамида) вошёл в научный обиход в XIX веке благодаря трудам французского геометра Огюстена Луи Коши, который исследовал выпуклые многогранники. В кристаллографии бипирамиды стали ключевыми формами после работ французского минералога Рене Жюста Гаюи, который в 1801 году классифицировал кристаллические структуры.

¶Классификация бипирамид

¶По форме основания

Бипирамиды классифицируются в зависимости от многоугольника, лежащего в их основании:

• Треугольная бипирамида (дипирамида с треугольным основанием) — состоит из двух тетраэдров, соединённых общим треугольником. Является правильным многогранником (октаэдром) при условии, что все рёбра равны.
• Квадратная бипирамида — образована двумя квадратными пирамидами, соединёнными квадратом. При равных рёбрах представляет собой правильный октаэдр.
• Пятиугольная бипирамида — имеет 10 граней, 7 вершин и 15 рёбер. В правильной форме (все грани — равносторонние треугольники) является одним из тел Джонсона.
• Шестиугольная бипирамида — состоит из 12 треугольных граней, 8 вершин и 18 рёбер. Правильная шестиугольная бипирамида не является выпуклым многогранником, так как её грани не могут быть равносторонними треугольниками без искажения.

¶По правильности

• Правильные бипирамиды — все грани являются равными равнобедренными или равносторонними треугольниками, а основание — правильный многоугольник. Пример: правильный октаэдр (квадратная бипирамида с равными рёбрами).
• Полуправильные бипирамиды — грани могут быть разными по форме, но сохраняется симметрия относительно плоскости основания. К ним относятся бипирамиды, входящие в состав тел Архимеда.
• Неправильные бипирамиды — не обладают симметрией, основание может быть произвольным многоугольником, а вершины расположены на разных расстояниях от плоскости основания.

¶По выпуклости

• Выпуклые бипирамиды — все внутренние углы меньше 180°, многогранник не имеет вогнутостей. Большинство бипирамид, изучаемых в геометрии, являются выпуклыми.
• Вогнутые бипирамиды — одна из вершин «вдавлена» внутрь, что приводит к появлению вогнутых граней. Такие формы встречаются в кристаллографии некоторых минералов.

¶Геометрические свойства

¶Формулы для правильной бипирамиды

Для правильной бипирамиды с основанием в виде правильного n-угольника со стороной a и высотой h (расстояние между вершинами) основные параметры вычисляются следующим образом:

• Площадь поверхности \(S\) складывается из площади боковых граней (2n треугольников) и площади основания (не учитывается, так как основание является внутренним). Для правильной бипирамиды с равными рёбрами:

\[ S = 2n \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{n a^2 \sqrt{3}}{2} \] где \(a\) — длина ребра.

• Объём \(V\) правильной бипирамиды равен сумме объёмов двух пирамид:

\[ V = \frac{2}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h \] где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, \(h\) — полная высота бипирамиды. Для правильного n-угольного основания: \[ S_{\text{осн}} = \frac{n a^2}{4 \tan(\pi/n)} \] Таким образом: \[ V = \frac{n a^2 h}{12 \tan(\pi/n)} \]

• Число граней \(F = 2n\), число вершин \(V = n + 2\), число рёбер \(E = 3n\). Эти значения удовлетворяют формуле Эйлера для многогранников: \(F + V - E = 2\).

¶Симметрия

Бипирамиды обладают диэдральной симметрией \(D_{nh}\) (для правильных форм) или \(D_{nd}\) (для скрученных). Группа симметрии правильной n-угольной бипирамиды включает:

• Ось вращения порядка n (проходящую через обе вершины);
• n осей второго порядка (лежащих в плоскости основания);
• n плоскостей симметрии, проходящих через ось и середины сторон основания;
• Горизонтальную плоскость симметрии (плоскость основания).

¶Примеры бипирамид в природе и технике

¶Кристаллография

Бипирамиды являются одной из основных форм кристаллов. Например:

• Кальцит (CaCO₃) часто образует ромбоэдрические и скаленоэдрические кристаллы, которые по форме близки к бипирамидам.
• Кварц (SiO₂) встречается в виде гексагональных бипирамид, особенно в друзах.
• Алмаз (C) в некоторых месторождениях имеет октаэдрическую форму, которая является квадратной бипирамидой.
• Циркон (ZrSiO₄) кристаллизуется в тетрагональной сингонии, образуя дипирамидальные кристаллы.

¶Архитектура

Форма бипирамиды используется в архитектуре для создания устойчивых и эстетичных конструкций:

• Пирамида Лувра (Париж, Франция) — стеклянная пирамида, которая по сути является квадратной бипирамидой, если рассматривать её вместе с подземной частью.
• Храм Святого Семейства (Барселона, Испания) — башни Антонио Гауди имеют форму бипирамид, увенчанных крестами.
• Советские павильоны на ВДНХ (Москва, Россия) — некоторые павильоны, например «Космос», имеют в своей основе бипирамидальные конструкции.

¶Теория игр и экономика

В теории игр бипирамида используется для визуализации множества Парето-оптимальных решений в задачах с двумя агентами. Например, в переговорной задаче Нэша множество возможных выигрышей часто имеет форму бипирамиды. В экономике бипирамидальные структуры применяются для моделирования распределения доходов в обществах с двумя полярными группами.

¶Интересные факты

• Двойственность бипирамид: Бипирамида является двойственным многогранником к призме. То есть, если соединить центры граней бипирамиды, получится призма, и наоборот.
• Бипирамида в теории многогранников: Все правильные бипирамиды (кроме треугольной и квадратной) являются телами Джонсона — выпуклыми многогранниками с правильными гранями, но не являющимися правильными. Например, пятиугольная бипирамида (J13) и шестиугольная бипирамида (J14) входят в список 92 тел Джонсона.
• Бипирамида в искусстве: В эпоху Возрождения художники и скульпторы, такие как Леонардо да Винчи, использовали бипирамидальные формы для создания иллюзии глубины и объёма в перспективе.
• Рекордные бипирамиды: Самая большая искусственная бипирамида — это пирамида Кукулькана в Чичен-Ице (Мексика), которая, однако, является усечённой и имеет ступенчатую структуру. В чистом виде бипирамидальные здания встречаются редко из-за сложности строительства.
• Бипирамида в математическом моделировании: В трёхмерной компьютерной графике бипирамиды используются как базовые примитивы для построения сложных сеток (например, в программах Blender и 3ds Max).

¶Критика и ограничения

В некоторых учебных пособиях бипирамиды ошибочно называют «дипирамидами», что может приводить к путанице с дипирамидальными кристаллами, которые имеют более сложную структуру. Кроме того, в кристаллографии термин «бипирамида» часто применяется только к формам, у которых обе вершины равноудалены от плоскости основания, что не всегда соблюдается в реальных кристаллах. В архитектуре бипирамидальные конструкции требуют тщательного расчёта ветровых нагрузок, так как их форма может создавать зоны турбулентности.

¶Источники

• Кокстер, Г. С. М. «Введение в геометрию». — М.: Наука, 1966.
• Веннинджер, М. «Модели многогранников». — М.: Мир, 1974.
• Шубников, А. В. «Симметрия и антисимметрия в кристаллографии». — М.: Изд-во АН СССР, 1951.
• Weisstein, E. W. «Dipyrramid» // MathWorld — A Wolfram Web Resource.
• Johnson, N. W. «Convex Polyhedra with Regular Faces» // Canadian Journal of Mathematics, 1966, Vol. 18, pp. 169–200.