Призма

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами. Призма относится к классу геометрических тел (стереометрических фигур) и является частным случаем многогранника. Название происходит от древнегреческого слова πρίσμα (prisma) — «нечто отпиленное», что связано с формой, получаемой при распиле параллелепипеда.

История

Понятие призмы впервые было систематизировано в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.). В книгах XI—XII Евклид даёт определение призмы, доказывает теоремы о её объёме и площади поверхности. Древнегреческие математики рассматривали призмы как тела, ограниченные плоскостями, и использовали их для вычисления объёмов сложных фигур методом исчерпывания.

В XVII веке Иоганн Кеплер в работе «Новая стереометрия винных бочек» (1615) применил призматические сечения для расчёта объёмов тел вращения, заложив основы интегрального исчисления. В XVIII веке Леонард Эйлер ввёл современную классификацию многогранников, включая призмы, и сформулировал теорему Эйлера для выпуклых многогранников (V — E + F = 2), где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней.

Классификация

Призмы классифицируются по нескольким признакам.

По форме основания

• Треугольная призма — основание — треугольник. Имеет 5 граней (2 основания и 3 боковых), 6 вершин, 9 рёбер.
• Четырёхугольная призма — основание — четырёхугольник. Имеет 6 граней, 8 вершин, 12 рёбер. Частный случай — прямоугольный параллелепипед (квадрат в основании).
• Пятиугольная призма — основание — пятиугольник. Имеет 7 граней, 10 вершин, 15 рёбер.
• Шестиугольная призма — основание — шестиугольник. Имеет 8 граней, 12 вершин, 18 рёбер. Встречается в кристаллографии (например, гексагональная сингония).
• n-угольная призма — основание — правильный или неправильный n-угольник. Общее число граней: n+2, вершин: 2n, рёбер: 3n.

По расположению боковых граней

• Прямая призма — боковые грани — прямоугольники (или квадраты), а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Все боковые рёбра равны и параллельны. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Наклонная призма — боковые грани — параллелограммы, боковые рёбра не перпендикулярны основанию. Высота такой призмы меньше длины бокового ребра. У наклонной призмы может быть вписанная сфера (если в основание можно вписать окружность, а высота равна диаметру этой окружности).

По свойствам основания

• Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (все стороны равны и все углы равны). Например, правильная треугольная призма (основание — равносторонний треугольник), правильная шестиугольная призма.
• Неправильная призма — любая призма, не являющаяся правильной (основание — произвольный многоугольник, или боковые грани не перпендикулярны основанию).

Частные случаи

• Параллелепипед — призма, основанием которой является параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — частный случай прямой призмы с прямоугольником в основании.
• Куб — правильная четырёхугольная призма, у которой все грани — квадраты. Является одновременно правильным многогранником (гексаэдром).
• Усечённая призма — часть призмы, отсечённая плоскостью, не параллельной основанию. Объём усечённой призмы вычисляется как произведение площади основания на среднюю высоту (среднее арифметическое длин трёх боковых рёбер для треугольной усечённой призмы).

Устройство и характеристики

Основные элементы

• Основания — два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях.
• Боковые грани — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований.
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершины оснований. У прямой призмы они перпендикулярны основаниям, у наклонной — наклонены.
• Высота (h) — расстояние между плоскостями оснований.
• Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. У n-угольной призмы число диагоналей равно n(n-3).

Формулы

Для произвольной призмы:

• Площадь боковой поверхности (S_бок) — сумма площадей всех боковых граней. Для прямой призмы: S_бок = P_осн * h, где P_осн — периметр основания.
• Площадь полной поверхности (S_полн) — S_бок + 2 * S_осн.
• Объём (V) — V = S_осн * h. Эта формула справедлива для любой призмы (прямой и наклонной). Для наклонной призмы высота h — перпендикуляр между основаниями.

Для правильной n-угольной призмы с длиной стороны основания a и высотой h:

• S_осн = (n a^2) / (4 tg(π/n)).
• S_бок = n a h.
• V = S_осн * h.

Применение

Оптика

В оптике призма — это прозрачное тело (обычно из стекла, кварца или пластика) с полированными гранями, используемое для преломления, отражения или разложения света. Основные типы:

• Дисперсионная призма — разлагает белый свет в спектр (эффект, открытый Исааком Ньютоном в 1666 году). Угол при вершине такой призмы обычно составляет 60°.
• Отражательная призма — работает на основе полного внутреннего отражения. Используется в биноклях, перископах, зеркальных фотоаппаратах (например, призма Порро, призма Аббе).
• Поляризационная призма — разделяет свет на две поляризованные компоненты (например, призма Николя, призма Глана — Томпсона).
• Призма-куб — используется в светоделителях и интерферометрах.

Кристаллография

В кристаллографии призма — одна из основных форм кристаллов. Многие минералы (кварц, кальцит, турмалин) образуют кристаллы в форме призм. Гексагональная призма характерна для кристаллов с гексагональной сингонией (например, апатит, берилл).

Архитектура и строительство

Призматические формы широко используются в архитектуре:

• Призматические колонны — элементы несущих конструкций.
• Призматические крыши — скатные крыши с треугольным или трапециевидным сечением.
• Стеклянные призмы — в витражах, световых фонарях, фасадах зданий (например, небоскрёб «Триумф-Палас» в Москве имеет призматическую форму).
• Призматические фундаменты — для равномерного распределения нагрузки.

Математика и образование

Призмы являются базовыми объектами в стереометрии. На их примере изучаются понятия объёма, площади поверхности, сечения многогранников. В школьном курсе геометрии (Россия, 10-11 классы) призмы рассматриваются как один из основных типов многогранников.

Техника

• Призматические направляющие — в станках и механизмах для точного перемещения деталей (например, направляющие типа «ласточкин хвост»).
• Призматические опоры — для установки валов и осей.
• Призматические резцы — в металлообработке для формирования канавок и пазов.
• Призматические элементы — в оптических приборах (спектрометры, монохроматоры, лазерные резонаторы).

Интересные факты

• Самой известной оптической призмой является призма Ньютона, с помощью которой он впервые продемонстрировал разложение белого света на семь цветов спектра.
• В кристаллографии существует понятие «призматический габитус» — форма кристалла, вытянутого вдоль одной оси, с хорошо развитыми призматическими гранями.
• В архитектуре Древнего Египта призматические формы использовались при строительстве обелисков (четырёхгранные призмы с пирамидальной вершиной).
• В компьютерной графике трёхмерные модели часто представляются в виде сетки из треугольных призм (триангуляция).
• В природе призматические формы встречаются у базальтовых колонн (например, «Мостовая гигантов» в Ирландии), образующихся при застывании лавы.

Источники

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2019.
2. Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7-11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1990.
3. Ландсберг Г. С. Оптика: учебное пособие для вузов. — М.: Физматлит, 2003.
4. Шубников А. В., Флинт Е. Е., Бокий Г. Б. Основы кристаллографии. — М.: Наука, 1970.
5. Энциклопедия элементарной математики. Книга 4. Геометрия / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: ГИФМЛ, 1963.