Число Аббе

Число Аббе (также известное как число Аббе, дисперсионное число или число V) — это безразмерная величина, характеризующая дисперсию оптического материала, то есть зависимость его показателя преломления от длины волны света. Число Аббе используется для классификации оптических стёкол и других прозрачных сред по степени их дисперсии и является ключевым параметром при проектировании оптических систем для коррекции хроматических аберраций.

История

Число Аббе было введено в 1870-х годах немецким физиком и оптиком Эрнстом Аббе (1840—1905), который работал в компании Carl Zeiss. Аббе систематизировал свойства оптических стёкол и предложил простой способ количественной оценки их дисперсии. Впоследствии это число стало стандартной характеристикой, используемой в каталогах оптических материалов (например, в каталогах Schott AG, Hoya, CDGM и других).

Определение и формула

Число Аббе \( V_d \) для видимого диапазона (линия d, 587,6 нм) определяется по формуле:

\[ V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C} \]

где:

• \( n_d \) — показатель преломления материала для линии d (гелий, 587,6 нм, жёлтый цвет);
• \( n_F \) — показатель преломления для линии F (водород, 486,1 нм, синий цвет);
• \( n_C \) — показатель преломления для линии C (водород, 656,3 нм, красный цвет).

В числителе стоит значение, пропорциональное общему преломлению, а в знаменателе — разность показателей преломления на синем и красном концах видимого спектра, то есть мера дисперсии. Чем меньше дисперсия (то есть чем меньше разность \( n_F - n_C \)), тем больше число Аббе.

Для других спектральных диапазонов (например, для ультрафиолета или инфракрасного) используются аналогичные формулы с другими длинами волн, например:

• \( V_e \) — для линии e (ртуть, 546,1 нм);
• \( V_{r} \) — для линий r и s (кадмий, 643,8 нм и 480,0 нм).

Классификация оптических стёкол

Число Аббе является основой для деления стёкол на два основных типа:

Крон (Crown) — стёкла с низкой дисперсией

• Число Аббе: \( V_d \ge 50 \) (для некоторых источников — \( V_d \ge 55 \)).
• Особенности: Малая дисперсия, то есть показатель преломления слабо зависит от длины волны. Такие стёкла обычно содержат оксиды щелочных и щёлочноземельных металлов (например, натрия, калия, кальция, бария).
• Примеры: Крон-стекло (обычное оконное стекло), боросиликатные стёкла, стекло BK7 (одно из самых распространённых оптических стёкол, \( V_d \approx 64,2 \)).

Флинт (Flint) — стёкла с высокой дисперсией

• Число Аббе: \( V_d < 50 \) (или \( V_d < 55 \)).
• Особенности: Высокая дисперсия, то есть показатель преломления сильно меняется с длиной волны. Такие стёкла содержат значительное количество оксида свинца (PbO), что придаёт им высокую плотность и дисперсию.
• Примеры: Тяжёлый флинт (SF), лёгкий флинт (LF), стекло F2 (\( V_d \approx 36,4 \)).

Существуют также промежуточные типы, например, бариевый крон (BaK) и бариевый флинт (BaF), которые занимают среднее положение по числу Аббе.

Таблица примеров

Применение в оптике

Число Аббе играет центральную роль в коррекции хроматической аберрации — искажения изображения, при котором свет разных длин волн фокусируется в разных точках. Для устранения этой аберрации в линзовых системах (например, в объективах фотоаппаратов, микроскопов, телескопов) применяют ахроматические дублеты — пары линз из материалов с разными числами Аббе.

Ахроматические дублеты

• Положительная линза (собирающая) изготавливается из крона (высокое \( V \), низкая дисперсия).
• Отрицательная линза (рассеивающая) — из флинта (низкое \( V \), высокая дисперсия).

При правильном подборе кривизны и материалов дисперсия одной линзы компенсируется дисперсией другой, и для двух длин волн (обычно для синей и красной) фокус совпадает. Это позволяет получить чёткое изображение без цветных ореолов.

Апохроматы

Для более совершенной коррекции (апохроматические системы) используют три или более материалов с различными числами Аббе и частичными дисперсиями. В таких системах хроматическая аберрация исправляется для трёх и более длин волн. Материалы для апохроматов часто включают флюорит (CaF₂) или специальные стёкла с аномальной дисперсией.

Другие области применения

Очки и линзы для коррекции зрения

Число Аббе важно для выбора материала очковых линз. Высокое число Аббе (например, у поликарбоната — около 30, у CR-39 — около 58) означает меньшую хроматическую аберрацию, что особенно заметно при взгляде через края линзы. Линзы с низким числом Аббе (например, из высокоиндексных пластиков) могут вызывать «хроматический шум» — цветные ореолы вокруг предметов.

Оптические волокна

В волоконной оптике дисперсия материала (зависимость показателя преломления от длины волны) влияет на уширение импульсов. Число Аббе используется для оценки этой дисперсии, хотя для волокон более важна полная дисперсия (включая волноводную).

Лазерная техника

В лазерных системах число Аббе учитывается при выборе материалов для линз, призм и окон, особенно в системах с широким спектром (например, в фемтосекундных лазерах).

Ограничения и критика

Число Аббе описывает дисперсию только в видимом диапазоне и для двух фиксированных длин волн. Для более точного описания дисперсии в широком спектральном диапазоне (например, от ультрафиолета до инфракрасного) используются частичные дисперсии и аномальные дисперсионные характеристики. В частности, для апохроматов важна не только величина \( V_d \), но и отношение частичных дисперсий (например, \( P_{gF} = (n_g - n_F)/(n_F - n_C) \)), которое может отклоняться от стандартного для данного числа Аббе — это называется «аномальной дисперсией».

Кроме того, число Аббе не учитывает нелинейные эффекты (например, зависимость дисперсии от температуры) и не применимо для материалов с сильным поглощением или для метаматериалов.

Интересные факты

• Самое высокое число Аббе среди природных материалов имеет флюорит (CaF₂) — около 95, что делает его идеальным для апохроматических объективов.
• Стекло с числом Аббе более 90 (например, некоторые фторфосфатные стёкла) называют «сверхкронами».
• В XIX веке, до введения числа Аббе, оптики классифицировали стёкла по плотности и цвету, что было гораздо менее точным.
• Эрнст Аббе также внёс вклад в теорию микроскопии (предел Аббе) и создал знаменитую формулу для разрешающей способности микроскопа.

Источники

• Аббе, Эрнст. «Теория оптических инструментов» (1873).
• Каталог оптических стёкол Schott AG (2019).
• Hecht, Eugene. «Optics» (4th ed., 2002).
• Born, Max; Wolf, Emil. «Principles of Optics» (7th ed., 1999).
• ГОСТ 13659-78 «Стекло оптическое бесцветное. Физико-химические характеристики».