E-функция Вейерштрасса

E-функция Вейерштрасса (также известная как сигма-функция Вейерштрасса, обозначается σ(z)) — это целая аналитическая функция комплексного переменного, введённая немецким математиком Карлом Вейерштрассом в середине XIX века. Она является одной из фундаментальных специальных функций в теории эллиптических функций и тесно связана с дзета-функцией Вейерштрасса (ζ(z)) и эллиптической функцией Вейерштрасса (℘(z)). E-функция Вейерштрасса определяется как произведение по всем ненулевым периодам решётки и обладает свойством нечётности, что делает её удобным инструментом для построения эллиптических функций с заданными нулями и полюсами.

Определение

Пусть Λ ⊂ ℂ — решётка периодов, порождённая двумя линейно независимыми над ℝ комплексными числами ω₁ и ω₂, такими что Im(ω₂/ω₁) > 0. Тогда e-функция Вейерштрасса (часто обозначаемая σ(z; Λ) или просто σ(z)) определяется бесконечным произведением:

σ(z) = z ∏_{ω∈Λ\{0}} (1 − z/ω) exp(z/ω + z²/(2ω²)),

где произведение берётся по всем ненулевым периодам решётки. Экспоненциальные множители обеспечивают абсолютную сходимость произведения для всех комплексных z.

Основные свойства:

• σ(z) является целой функцией (аналитична на всей комплексной плоскости).
• σ(z) — нечётная функция: σ(−z) = −σ(z).
• σ(z) имеет простые нули во всех точках решётки Λ, то есть σ(ω) = 0 для всех ω ∈ Λ, и других нулей нет.

Связь с другими функциями Вейерштрасса

Дзета-функция Вейерштрасса

Дзета-функция Вейерштрасса ζ(z) определяется как логарифмическая производная сигма-функции:

ζ(z) = σ'(z) / σ(z).

Она является мероморфной функцией с простыми полюсами в точках решётки Λ. ζ(z) — нечётная функция, и её разложение в ряд Лорана в окрестности нуля имеет вид:

ζ(z) = 1/z − ∑_{k=2}^{∞} G_{2k} z^{2k−1},

где G_{2k} — нормированные ряды Эйзенштейна.

Эллиптическая функция Вейерштрасса

Эллиптическая функция Вейерштрасса ℘(z) определяется как производная дзета-функции с обратным знаком:

℘(z) = −ζ'(z).

℘(z) — двоякопериодическая мероморфная функция с полюсами второго порядка в точках решётки Λ. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(℘'(z))² = 4℘³(z) − g₂℘(z) − g₃,

где g₂ и g₃ — инварианты решётки, связанные с рядами Эйзенштейна.

Свойства

Квазипериодичность

Сигма-функция не является двоякопериодической, но обладает свойством квазипериодичности. Для любого периода ω ∈ Λ выполняется:

σ(z + ω) = −exp(η(ω)(z + ω/2)) σ(z),

где η(ω) = ζ(ω) — значение дзета-функции в точке периода. В частности, для базисных периодов ω₁ и ω₂:

σ(z + ω₁) = −exp(η₁(z + ω₁/2)) σ(z), σ(z + ω₂) = −exp(η₂(z + ω₂/2)) σ(z),

где η₁ = ζ(ω₁), η₂ = ζ(ω₂). Эти константы связаны соотношением Лежандра:

η₁ω₂ − η₂ω₁ = 2πi.

Разложение в ряд

Сигма-функция может быть разложена в степенной ряд в окрестности нуля:

σ(z) = z − (g₂/240) z⁵ − (g₃/840) z⁷ − (g₂²/161280) z⁹ + …,

где g₂ и g₃ — инварианты решётки. Коэффициенты ряда выражаются через модулярные формы.

Тождества

• σ(z) = z ∏_{n=1}^{∞} ∏_{m=−∞}^{∞} (1 − z/(nω₁ + mω₂)) exp(z/(nω₁ + mω₂) + z²/(2(nω₁ + mω₂)²)), где произведение берётся по всем парам (n,m) ≠ (0,0).
• Для любых a, b, c, d ∈ ℂ, таких что a + b + c + d = 0, выполняется тождество:

σ(a)σ(b)σ(c)σ(d) + σ(a+b)σ(a+c)σ(a+d)σ(b+c)σ(b+d)σ(c+d) = 0.

Применение

Эллиптические функции с заданными нулями и полюсами

Сигма-функция позволяет строить произвольные эллиптические функции. Если f(z) — эллиптическая функция с нулями в точках a₁, …, aₙ и полюсами в точках b₁, …, bₙ (с учётом кратности), то она может быть представлена в виде:

f(z) = C ∏_{k=1}^{n} σ(z − a_k) / σ(z − b_k),

где C — константа. Это следует из того, что отношение произведений сигма-функций является двоякопериодической функцией.

Теория чисел

E-функция Вейерштрасса используется в теории чисел для изучения эллиптических кривых и модулярных форм. В частности, через неё выражаются значения L-функций и периоды эллиптических кривых.

Физика

В статистической физике и теории солитонов сигма-функция возникает при решении уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ) и других нелинейных уравнений. Она также применяется в теории струн и конформной теории поля.

Примеры

Вырожденные случаи

При стремлении одного из периодов к бесконечности (например, ω₂ → ∞) сигма-функция вырождается в тригонометрические функции. Если решётка становится прямоугольной, σ(z) выражается через тета-функции Якоби.

Численные значения

Для конкретной решётки, например, с периодами ω₁ = 1, ω₂ = i, сигма-функция может быть вычислена численно. В нуле σ(0) = 0, а в точке z = 0.5 значение σ(0.5) ≈ 0.462 (для решётки с g₂ = 189.072, g₃ = 0).

История

E-функция Вейерштрасса была введена Карлом Вейерштрассом в его лекциях по теории эллиптических функций, прочитанных в Берлинском университете в 1860-х годах. Вейерштрасс стремился построить единую теорию эллиптических функций, основанную на аналитическом аппарате, в отличие от геометрического подхода Абеля и Якоби. Сигма-функция стала ключевым элементом этой теории, позволив унифицировать представление эллиптических функций через бесконечные произведения. Впоследствии её свойства были развиты в работах Феликса Клейна, Анри Пуанкаре и других математиков.

Интересные факты

• Сигма-функция Вейерштрасса является целой функцией, но не имеет периода, в отличие от эллиптической функции ℘(z). Это делает её удобной для построения функций с произвольными периодами.
• Тождество для сигма-функции, связывающее четыре точки, лежит в основе теории тета-функций и модулярных форм.
• Вейерштрасс использовал сигма-функцию для доказательства теоремы о том, что любая эллиптическая функция может быть представлена как отношение двух произведений сигма-функций.

Источники

• Вейерштрасс К. Лекции по теории эллиптических функций (1860-е гг., опубликованы посмертно).
• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — М.: Наука, 1970.
• Ленг С. Эллиптические функции. — М.: Мир, 1984.
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. — М.: Физматлит, 1963.