Тригонометрические функции угла и числа¶

Тригонометрические функции — класс элементарных функций, устанавливающих связь между углом (или, в обобщённом виде, числовым аргументом) и отношениями сторон прямоугольного треугольника. К основным относятся синус, косинус, тангенс и котангенс; реже выделяют секанс и косеканс. Функции широко применяются в геометрии, физике, инженерии, астрономии и математическом анализе, а также лежат в основе теории колебаний и волновых процессов.

¶Определение

В прямоугольном треугольнике для острого угла α отношения сторон задаются так:

• синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему;
• котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Эти определения работают лишь для углов от 0° до 90°. Для произвольных углов и действительных чисел используют обобщение через единичную окружность: точке на окружности радиуса 1, повёрнутой на угол α от положительного направления оси абсцисс, соответствуют координаты (cos α; sin α). Такое определение делает функции периодическими и позволяет рассматривать отрицательные и сколь угодно большие аргументы.

¶История

Простейшие тригонометрические соотношения были известны ещё в древности. В Древнем Египте и Вавилоне их применяли в астрономии и строительстве. Систематические таблицы хорд составил древнегреческий астроном Гиппарх (II век до н. э.), а Клавдий Птолемей в «Альмагесте» привёл подробные таблицы для астрономических расчётов.

В Индии (труды Арьябхаты, V век) вместо хорд стали использовать полухорды, что фактически соответствует современному синусу. Через арабских математиков — аль-Баттани, Абу-ль-Вафу — эти знания попали в Европу. Термин «синус» происходит от латинского sinus, искажения арабского «джайб» (пазуха, впадина). Региомонтан в XV веке издал первые европейские таблицы, а Леонард Эйлер в XVIII веке ввёл современные обозначения и связал функции с комплексными числами через формулу e^(iα) = cos α + i sin α.

¶Свойства

Основные свойства тригонометрических функций:

• Периодичность. Синус и косинус имеют период 2π, тангенс и котангенс — π.
• Область значений. Синус и косинус принимают значения от −1 до 1; тангенс и котангенс — любые действительные числа.
• Чётность. Косинус — чётная функция, синус, тангенс и котангенс — нечётные.
• Знаки по четвертям. В первой четверти все функции положительны, во второй положителен только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус.

¶Основные тождества

Фундаментальное соотношение — основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1.

Из него выводятся выражения тангенса и котангенса через синус и косинус, а также формулы сложения:

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.

К важным относятся формулы двойного и половинного аргумента, формулы понижения степени и преобразования суммы в произведение.

¶Обратные функции

Функции, обратные к тригонометрическим, называются арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они позволяют по известному значению отношения найти угол. Например, если sin α = x, то α = arcsin x. Обратные функции многозначны, поэтому рассматривают их главные значения с ограниченной областью определения: arcsin и arccos принимают значения от −π/2 до π/2 и от 0 до π соответственно.

¶Применение

Тригонометрия пронизывает множество областей:

• Геометрия. Решение треугольников, вычисление площадей, теорема синусов и теорема косинусов.
• Физика. Описание гармонических колебаний, переменного тока, волновых процессов, разложение сигналов в ряд Фурье.
• Астрономия и навигация. Определение координат, расстояний до небесных тел, прокладка курса.
• Инженерия. Расчёты в строительстве, машиностроении, радиотехнике, компьютерной графике.
• Математический анализ. Тригонометрические функции служат базовыми примерами периодических и аналитических функций, используются при интегрировании и решении дифференциальных уравнений.

В России тригонометрия входит в школьную программу по алгебре и началам анализа, обычно изучается в 9–10 классах. Соответствующие разделы присутствуют в курсах высшей математики технических вузов.

¶Связь с комплексными числами

Формула Эйлера связывает тригонометрические функции с экспонентой комплексного аргумента. Из неё следуют выражения:

sin α = (e^(iα) − e^(−iα)) / (2i), cos α = (e^(iα) + e^(−iα)) / 2.

Эта связь лежит в основе комплексного анализа и применяется при решении задач электротехники и квантовой механики.

¶Численные значения

Для часто используемых углов значения функций известны точно:

Для произвольных углов значения вычисляются разложением в ряды Тейлора или с помощью численных алгоритмов.

¶Обозначения

В русскоязычной традиции используются обозначения sin, cos, tg, ctg. В англоязычной литературе тангенс и котангенс записываются как tan и cot. Аргумент функции обычно обозначают греческими буквами α, β, γ или латинскими x, t. Обратные функции записываются как arcsin, arccos, arctg, arcctg (в англоязычной — arctan, arccot).

Источники: учебники по алгебре и началам анализа, курсы высшей математики, историко-математические работы по развитию тригонометрии.