Элементарная ячейка

Элементарная ячейка — это минимальный объём кристаллической решётки, параллельный перенос (трансляция) которого в трёх направлениях позволяет воспроизвести всю трёхмерную периодическую структуру кристалла. Элементарная ячейка является фундаментальным понятием кристаллографии и физики твёрдого тела, определяющим геометрию и симметрию кристаллического вещества.

Определение и основные характеристики

Элементарная ячейка характеризуется шестью параметрами: тремя длинами рёбер (a, b, c) и тремя углами между ними (α, β, γ). Совокупность этих параметров называется параметрами решётки. Выбор элементарной ячейки не является однозначным: для одной и той же кристаллической решётки можно задать множество различных параллелепипедов, удовлетворяющих условию трансляционной повторяемости. Однако в кристаллографии принято выбирать ячейку, обладающую наибольшей симметрией и наименьшим объёмом.

Ключевое свойство элементарной ячейки — её трансляционная инвариантность: перемещение ячейки на вектор, кратный её рёбрам, совмещает её с соседней ячейкой, полностью заполняя пространство без промежутков и перекрытий.

Типы элементарных ячеек

Примитивная ячейка (ячейка Браве)

Примитивная ячейка содержит один узел решётки на свой объём (узлы располагаются только в вершинах). Она имеет наименьший возможный объём среди всех ячеек для данной решётки. Однако примитивная ячейка не всегда отражает полную симметрию кристалла.

Центрированные ячейки

Для описания решёток с более высокой симметрией используются центрированные ячейки, которые содержат дополнительные узлы:

• Объёмноцентрированная (ОЦК) — дополнительный узел в центре ячейки.
• Гранецентрированная (ГЦК) — дополнительные узлы в центрах всех граней.
• Базоцентрированная — дополнительные узлы в центрах двух противоположных граней.

Центрированные ячейки имеют больший объём, чем примитивные, но их использование упрощает описание симметрии кристалла.

Ячейка Вигнера — Зейтца

Особый тип примитивной ячейки, построенный как область пространства, точки которой находятся ближе к данному узлу решётки, чем к любому другому. Ячейка Вигнера — Зейтца обладает полной симметрией точечной группы кристалла и широко используется в зонной теории твёрдого тела.

Кристаллографические системы (сингонии)

Все кристаллические решётки делятся на семь сингоний в зависимости от соотношения параметров элементарной ячейки:

Решётки Браве

В 1848 году французский кристаллограф Огюст Браве показал, что существует 14 различных типов трёхмерных решёток, отличающихся типом центрировки и сингонией. Эти решётки называются решётками Браве. Они включают:

• 7 примитивных решёток (по одной на каждую сингонию)
• 7 центрированных решёток (объёмноцентрированные, гранецентрированные и базоцентрированные)

Методы определения элементарной ячейки

Рентгеноструктурный анализ

Основной экспериментальный метод определения параметров элементарной ячейки — дифракция рентгеновских лучей. По положению дифракционных максимумов на рентгенограмме рассчитываются межплоскостные расстояния, а затем — параметры ячейки. Метод был разработан в 1912 году Максом фон Лауэ, а затем усовершенствован Уильямом Генри Брэггом и Уильямом Лоренсом Брэггом.

Дифракция нейтронов и электронов

Для изучения структур, содержащих лёгкие элементы (водород, литий), или для анализа магнитных структур применяется нейтронография. Электронография используется для исследования тонких плёнок и поверхностей.

Значение в материаловедении

Параметры элементарной ячейки определяют многие физические и химические свойства кристаллических материалов:

• Плотность — рассчитывается по числу атомов в ячейке и её объёму.
• Твёрдость — зависит от типа химической связи и расстояний между атомами.
• Электропроводность — определяется зонной структурой, которая, в свою очередь, зависит от симметрии ячейки.
• Тепловое расширение — изменение параметров ячейки при нагреве.

Примеры элементарных ячеек

Кубическая решётка

• Медь (Cu) — гранецентрированная кубическая решётка (ГЦК), параметр a = 0,3615 нм.
• Железо (Fe) — при комнатной температуре объёмноцентрированная кубическая решётка (ОЦК), a = 0,2866 нм; при высоких температурах (выше 912 °C) переходит в ГЦК.
• Хлорид натрия (NaCl) — две гранецентрированные кубические решётки, сдвинутые друг относительно друга на половину ребра.

Гексагональная решётка

• Графит — гексагональная решётка с параметрами a = 0,246 нм, c = 0,671 нм.
• Цинк (Zn) — гексагональная плотноупакованная решётка (ГПУ), a = 0,2665 нм, c = 0,4947 нм.

Интересные факты

• Понятие элементарной ячейки впервые было введено французским минералогом Рене-Жюстом Гаюи в конце XVIII века. Он предположил, что кристаллы состоят из мельчайших «кирпичиков» — молекул, уложенных правильными рядами.
• В 1913 году Уильям Генри Брэгг и его сын Уильям Лоренс Брэгг определили первую кристаллическую структуру — хлорида натрия. За эту работу они получили Нобелевскую премию по физике в 1915 году.
• Современные методы дифракции позволяют определять параметры элементарной ячейки с точностью до 0,0001 нм.
• Некоторые кристаллы при изменении температуры или давления испытывают полиморфные переходы, при которых меняется тип элементарной ячейки. Например, углерод может существовать в виде алмаза (кубическая решётка) и графита (гексагональная решётка).

Источники

• Китайгородский А. И. «Введение в физику твёрдого тела». — М.: Наука, 1972.
• Шаскольская М. П. «Кристаллография». — М.: Высшая школа, 1984.
• Бокий Г. Б. «Кристаллохимия». — М.: Наука, 1971.
• Уэллс А. «Структурная неорганическая химия». — М.: Мир, 1987.
• International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. — Springer, 2006.