Фильтр Баттерворта

Фильтр Баттерворта — это тип электронного фильтра, характеризующийся максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) в полосе пропускания и монотонным спадом в полосе задерживания. Относится к классу фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) и является одним из наиболее распространённых в аналоговой и цифровой обработке сигналов. Назван в честь британского инженера Стивена Баттерворта, который впервые описал его математическую модель в 1930 году.

История

В 1930 году Стивен Баттерворт, работавший в Британском почтовом ведомстве, опубликовал статью «On the Theory of Filter Amplifiers» в журнале Wireless Engineer. В ней он предложил конструкцию фильтра, АЧХ которого оставалась бы плоской в полосе пропускания, что было необходимо для улучшения качества телефонной связи. До этого использовались фильтры с неравномерной АЧХ, вызывающие искажения сигнала. Баттерворт математически описал передаточную функцию, которая обеспечивает максимально гладкий переход от полосы пропускания к полосе задерживания без пульсаций (осцилляций) в обеих областях. Впоследствии его имя было присвоено этому типу фильтров, а сама конструкция стала основой для разработки других фильтров, таких как фильтр Чебышёва и эллиптический фильтр.

Математическое описание

Передаточная функция

АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка определяется выражением:

\[ |H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}} \]

где:

• \(\omega\) — угловая частота,
• \(\omega_c\) — частота среза (на которой ослабление составляет −3 дБ),
• \(n\) — порядок фильтра (целое положительное число).

Передаточная функция в комплексной плоскости \(s = \sigma + j\omega\) для аналогового фильтра имеет вид:

\[ H(s) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{n} (s - p_k)} \]

где \(p_k\) — полюса, расположенные на окружности радиуса \(\omega_c\) в левой полуплоскости комплексной плоскости. Для нормированного фильтра (с \(\omega_c = 1\)) полюса вычисляются по формуле:

\[ p_k = e^{j\pi\left(\frac{2k + n - 1}{2n}\right)}, \quad k = 1, 2, \dots, n \]

Частота среза

Частота среза \(\omega_c\) определяется как частота, на которой мощность сигнала уменьшается вдвое (на 3 дБ). Для фильтра Баттерворта это единственная точка, где АЧХ пересекает уровень −3 дБ, в отличие от фильтров с пульсациями.

Порядок фильтра

Порядок фильтра \(n\) определяет крутизну спада АЧХ в полосе задерживания. Чем выше порядок, тем быстрее ослабление сигнала за пределами полосы пропускания. Крутизна спада составляет \(6n\) дБ на октаву (или \(20n\) дБ на декаду). Например, фильтр первого порядка даёт спад 6 дБ/октаву, второго — 12 дБ/октаву, третьего — 18 дБ/октаву и так далее.

Характеристики

Амплитудно-частотная характеристика

Основное свойство фильтра Баттерворта — максимальная гладкость АЧХ в полосе пропускания. В ней отсутствуют пульсации (осцилляции), что отличает его от фильтра Чебышёва или эллиптического фильтра. Однако платой за это является более пологий спад в переходной области по сравнению с фильтрами того же порядка, имеющими пульсации.

Фазо-частотная характеристика

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра Баттерворта нелинейна, особенно вблизи частоты среза. Это приводит к фазовым искажениям сигнала, что может быть критично для приложений, требующих сохранения формы сигнала (например, в аудиообработке). Для минимизации фазовых искажений иногда используют фильтры Бесселя.

Переходная характеристика

Переходная характеристика (реакция на единичный скачок) фильтра Баттерворта имеет перерегулирование (выброс) и затухающие колебания, особенно заметные при высоких порядках. Для фильтра второго порядка перерегулирование составляет около 4,3 %, для более высоких порядков — до 10–15 %. Это ограничивает его применение в системах, где важна точность воспроизведения фронтов сигналов.

Классификация и виды

По типу фильтрации

• Фильтр нижних частот (ФНЧ) — пропускает сигналы с частотами ниже \(\omega_c\) и ослабляет выше.
• Фильтр верхних частот (ФВЧ) — пропускает сигналы с частотами выше \(\omega_c\) и ослабляет ниже.
• Полосовой фильтр — пропускает сигналы в определённом диапазоне частот.
• Режекторный фильтр — подавляет сигналы в определённом диапазоне частот.

Все эти типы могут быть реализованы на основе фильтра Баттерворта путём преобразования частоты (например, с помощью замены \(s\) на \(1/s\) для ФВЧ).

По реализации

• Аналоговые фильтры — реализуются на пассивных (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности) или активных (операционные усилители) компонентах. Для высоких порядков используются каскадные соединения звеньев второго порядка (биквадратные фильтры).
• Цифровые фильтры — реализуются программно или на цифровых сигнальных процессорах (DSP). Для цифровой реализации применяется билинейное преобразование (метод Тастина) для перехода от аналоговой передаточной функции к цифровой.

Применение

Фильтры Баттерворта широко используются в различных областях благодаря своей простоте и предсказуемости:

• Аудиотехника — для кроссоверов в акустических системах, подавления шумов и коррекции частотных характеристик.
• Радиосвязь — для выделения полезного сигнала на фоне помех, в приёмниках и передатчиках.
• Измерительная техника — для антиалиасинговой фильтрации перед аналого-цифровым преобразованием.
• Биомедицинская инженерия — для обработки сигналов ЭКГ, ЭЭГ и других физиологических сигналов.
• Системы управления — для сглаживания сигналов датчиков и фильтрации шумов в обратной связи.

Сравнение с другими типами фильтров

Фильтр Баттерворта занимает промежуточное положение: он обеспечивает гладкую АЧХ без пульсаций, но уступает по крутизне спада фильтрам Чебышёва и эллиптическим фильтрам того же порядка.

Интересные факты

• Фильтр Баттерворта иногда называют «максимально плоским» фильтром из-за отсутствия пульсаций в полосе пропускания.
• Порядок фильтра может быть нецелым (например, 1,5), но на практике обычно используются целые порядки для упрощения реализации.
• В цифровой обработке сигналов фильтр Баттерворта часто применяется в качестве прототипа для проектирования других фильтров с помощью билинейного преобразования.
• Стивен Баттерворт не получил патента на своё изобретение, и его работа долгое время оставалась малоизвестной за пределами Великобритании.

Источники

• Butterworth, S. (1930). "On the Theory of Filter Amplifiers". Wireless Engineer, 7, 536–541.
• Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. (2009). Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall.
• Zverev, A. I. (1967). Handbook of Filter Synthesis. John Wiley & Sons.
• Antoniou, A. (1993). Digital Filters: Analysis, Design, and Applications. McGraw-Hill.