Формула Эрланга C

Формула Эрланга C — это математическая формула, используемая в теории массового обслуживания для вычисления вероятности того, что в системе с ожиданием (с очередью) все обслуживающие приборы заняты, и поступившая заявка вынуждена ожидать в очереди. Формула является одним из ключевых результатов, полученных датским математиком и инженером Агнером Крарупом Эрлангом в начале XX века. Она применяется для расчёта характеристик систем, где заявки поступают случайным образом и обслуживаются в течение случайного времени, при этом число каналов обслуживания фиксировано.

Определение и обозначения

Формула Эрланга C (также известная как формула Эрланга для систем с ожиданием, или C-формула Эрланга) определяет вероятность того, что в системе $M/M/c$ (пуассоновский входящий поток, экспоненциальное время обслуживания, $c$ обслуживающих приборов) с бесконечной очередью все $c$ приборов заняты. Эта вероятность обозначается как $P_{\text{wait}}$ или $C(c, a)$.

Пусть:

• $c$ — количество обслуживающих приборов (каналов);
• $\lambda$ — интенсивность входящего потока заявок (среднее число заявок в единицу времени);
• $\mu$ — интенсивность обслуживания одним прибором (среднее число заявок, которое может обслужить один прибор в единицу времени);
• $a = \lambda / \mu$ — предложенная нагрузка (в эрлангах), то есть среднее число заявок, поступающих за среднее время обслуживания одной заявки.

Тогда вероятность того, что поступившая заявка застанет все приборы занятыми и будет поставлена в очередь, рассчитывается по формуле:

$$ C(c, a) = \frac{ \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c - a} }{ \sum_{k=0}^{c-1} \frac{a^k}{k!} + \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c - a} } $$

Формула справедлива при условии $a < c$, то есть когда предложенная нагрузка меньше числа приборов, иначе очередь будет расти неограниченно, и система не достигнет стационарного режима.

История

Агнер Эрланг работал в Копенгагенской телефонной компании (KTAS) в начале 1900-х годов. Его задачей было математическое моделирование телефонных сетей для оптимизации числа линий и коммутационного оборудования. В 1909 году он опубликовал работу «Теория вероятностей и телефонные разговоры», в которой заложил основы теории массового обслуживания. В 1917 году вышла его статья «Решение некоторых задач теории вероятностей, имеющих значение для автоматических телефонных станций», где он вывел формулу для систем с ожиданием, впоследствии названную формулой Эрланга C. Ранее, в 1917 году, он также опубликовал формулу для систем с потерями (формулу Эрланга B), которая описывает вероятность отказа в обслуживании при отсутствии очереди.

Связь с формулой Эрланга B

Формула Эрланга C является обобщением формулы Эрланга B для систем с очередью. Формула Эрланга B (B-формула) описывает вероятность блокировки (отказа) в системе $M/M/c/c$ (с $c$ приборами и без очереди). Она вычисляется как:

$$ B(c, a) = \frac{ \frac{a^c}{c!} }{ \sum_{k=0}^{c} \frac{a^k}{k!} } $$

Формула Эрланга C может быть выражена через B-формулу:

$$ C(c, a) = \frac{ B(c, a) }{ B(c, a) + \left(1 - \frac{a}{c}\right) \cdot \left(1 - B(c, a)\right) } $$

Применение

Формула Эрланга C широко применяется в различных областях, где необходимо моделировать системы массового обслуживания с очередями:

• Телекоммуникации и связь: расчёт числа телефонных линий, каналов связи, ёмкости call-центров. Например, для определения количества операторов, необходимого для обработки входящих звонков с заданным уровнем обслуживания (доля звонков, ожидающих менее заданного времени).
• Колл-центры и службы поддержки: оценка времени ожидания клиентов, необходимого числа агентов, прогнозирование загрузки.
• Транспорт и логистика: моделирование работы портов, аэропортов, складских терминалов, где заявки (суда, самолёты, грузы) ожидают обслуживания (погрузки, разгрузки, взлёта-посадки).
• Информационные технологии: расчёт производительности серверов, баз данных, сетевых устройств, где запросы пользователей ставятся в очередь.
• Здравоохранение: планирование числа коек в больницах, количества врачей в приёмных отделениях, где пациенты могут ожидать приёма.

Пример расчёта

Пусть имеется колл-центр с 5 операторами ($c = 5$). Средняя интенсивность поступления звонков — 4 звонка в минуту ($\lambda = 4$). Средняя длительность разговора — 1 минута ($\mu = 1$). Тогда предложенная нагрузка $a = \lambda / \mu = 4$ эрланга. Условие $a < c$ выполняется ($4 < 5$).

По формуле Эрланга C:

$$ C(5, 4) = \frac{ \frac{4^5}{5!} \cdot \frac{5}{5 - 4} }{ \sum_{k=0}^{4} \frac{4^k}{k!} + \frac{4^5}{5!} \cdot \frac{5}{5 - 4} } $$

Вычислим:

• $\frac{4^5}{5!} = \frac{1024}{120} \approx 8.5333$
• $\frac{5}{5-4} = 5$
• Числитель: $8.5333 \cdot 5 = 42.6667$
• Сумма $\sum_{k=0}^{4} \frac{4^k}{k!} = \frac{4^0}{0!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^2}{2!} + \frac{4^3}{3!} + \frac{4^4}{4!} = 1 + 4 + 8 + 10.6667 + 10.6667 = 34.3333$
• Знаменатель: $34.3333 + 42.6667 = 77.0000$
• $C(5, 4) \approx 42.6667 / 77.0000 \approx 0.5541$

Таким образом, вероятность того, что все 5 операторов заняты и звонок попадёт в очередь, составляет примерно 55,4%. Зная эту вероятность, можно рассчитать среднее время ожидания в очереди и другие характеристики.

Ограничения и критика

Формула Эрланга C основана на ряде допущений, которые не всегда выполняются на практике:

• Пуассоновский входящий поток: заявки поступают независимо друг от друга с постоянной интенсивностью. В реальных системах (например, в колл-центрах) интенсивность может меняться в течение дня, а поток может быть нестационарным.
• Экспоненциальное время обслуживания: длительность обслуживания распределена экспоненциально. В реальности распределение может отличаться (например, быть более детерминированным или иметь большую дисперсию).
• Бесконечная очередь: предполагается, что очередь может расти неограниченно. В реальных системах ёмкость очереди ограничена (например, буфером в сети или терпением клиентов).
• Дисциплина очереди FIFO: заявки обслуживаются в порядке поступления. В некоторых системах действуют приоритеты или другие правила.

При нарушении этих допущений использование формулы может давать неточные результаты. Для более точного моделирования применяются имитационные модели или обобщённые формулы (например, формула Эрланга для систем с конечной очередью, или модели с общим распределением времени обслуживания — $M/G/c$).

Интересные факты

• Формула Эрланга C является частным случаем более общей формулы Пальма — Хинчина для систем $M/G/c$ с ожиданием.
• В честь Агнера Эрланга названа единица измерения телефонной нагрузки — эрланг (Эрл).
• Многие современные программные продукты для расчёта колл-центров (например, Genesys, Cisco Unified Contact Center) используют в своей основе формулы Эрланга.
• В СССР теория массового обслуживания активно развивалась в 1950–1960-х годах, в том числе на основе работ Эрланга, для планирования телефонных сетей и транспортных систем.

Источники

1. Erlang, A. K. (1917). «Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges». Elektroteknikeren, 13, 5–13.
2. Kleinrock, L. (1975). Queueing Systems, Volume 1: Theory. John Wiley & Sons.
3. Гнеденко, Б. В., Коваленко, И. Н. (1966). Введение в теорию массового обслуживания. Наука.
4. Gross, D., Harris, C. M. (1998). Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley & Sons.
5. Ивченко, Г. И., Каштанов, В. А., Коваленко, И. Н. (1982). Теория массового обслуживания. Высшая школа.