Формула Эрланга B

Формула Эрланга B (также известная как формула потерь Эрланга, B-формула Эрланга) — это математическая формула, используемая в теории телетрафика для расчета вероятности блокировки вызова в системе с потерями (системе с отказами) при заданном числе каналов обслуживания и интенсивности поступающей нагрузки. Формула была выведена датским математиком и инженером Агнером Крарупом Эрлангом в начале XX века и является фундаментальным результатом теории массового обслуживания.

История

Формула была разработана Агнером Эрлангом (1878–1929), работавшим в Копенгагенской телефонной компании. В 1917 году он опубликовал работу «Решение некоторых задач теории вероятностей, имеющих значение для автоматических телефонных станций», где впервые представил свою модель. Эрланг исследовал работу телефонных линий, где вызовы поступают случайным образом, а при занятости всех линий вызов теряется (отказ в обслуживании). Он предложил модель, в которой поток вызовов считается пуассоновским, а время обслуживания — экспоненциально распределенным. Формула Эрланга B стала первым строгим математическим результатом в области проектирования телефонных сетей и до сих пор используется в телекоммуникациях, системах связи и центрах обработки вызовов.

Определение

Формула Эрланга B определяет вероятность блокировки (потери) вызова \( P_b \) в системе с \( N \) идентичными каналами (линиями, серверами), на которые поступает нагрузка \( A \) (в эрлангах). Нагрузка \( A \) — это произведение интенсивности поступления вызовов \( \lambda \) (вызовов в единицу времени) на среднее время обслуживания одного вызова \( h \) (в тех же единицах времени): \( A = \lambda \cdot h \). Формула имеет вид:

\[ P_b = B(N, A) = \frac{\frac{A^N}{N!}}{\sum_{k=0}^{N} \frac{A^k}{k!}} \]

где:

• \( N \) — число каналов (целое положительное число),
• \( A \) — поступающая нагрузка в эрлангах (вещественное неотрицательное число),
• \( k \) — индекс суммирования.

Формула представляет собой отношение вероятности того, что все \( N \) каналов заняты, к сумме вероятностей всех возможных состояний системы (от 0 до \( N \) занятых каналов). Она основана на предположении, что система находится в стационарном режиме, а поток вызовов — простейший (пуассоновский) с постоянной интенсивностью.

Свойства

Рекуррентная форма

Для удобства вычислений формула Эрланга B может быть записана в рекуррентном виде:

\[ B(0, A) = 1 \] \[ B(N, A) = \frac{A \cdot B(N-1, A)}{N + A \cdot B(N-1, A)} \]

Эта рекурсия позволяет вычислять \( B(N, A) \) последовательно, начиная с \( N=0 \), что особенно полезно при программной реализации.

Монотонность и асимптотика

• \( B(N, A) \) монотонно возрастает по \( A \) при фиксированном \( N \): чем больше нагрузка, тем выше вероятность блокировки.
• \( B(N, A) \) монотонно убывает по \( N \) при фиксированном \( A \): добавление каналов снижает вероятность потерь.
• При \( A \to 0 \) \( B(N, A) \approx \frac{A^N}{N!} \), то есть при малой нагрузке потери крайне малы.
• При \( A \to \infty \) \( B(N, A) \to 1 \), то есть при очень большой нагрузке система почти всегда блокирует вызовы.

Отличие от формулы Эрланга C

Формула Эрланга B относится к системам с потерями (отказами), где при занятости всех каналов вызов немедленно теряется. В отличие от неё, формула Эрланга C (или формула задержки Эрланга) описывает системы с ожиданием, где при занятости каналов вызов ставится в очередь. Формула Эрланга C имеет другой вид и включает вероятность ожидания.

Применение

Телекоммуникации

Формула Эрланга B широко используется для расчета числа телефонных линий, каналов связи или операторов, необходимых для обеспечения заданного уровня качества обслуживания (QoS). Например, оператор связи может задать допустимую вероятность потери вызовов (например, 1% или 0.1%) и, зная ожидаемую нагрузку, определить минимальное число линий.

Центры обработки вызовов

В колл-центрах формула применяется для оценки числа операторов, необходимых для обработки входящих звонков без потерь (если система не предусматривает очередь). Однако в современных колл-центрах чаще используют формулу Эрланга C, так как допускается ожидание.

Сети передачи данных

В пакетных сетях, таких как IP-телефония, формула Эрланга B может использоваться для оценки вероятности блокировки при установлении соединений (например, в системах с резервированием полосы пропускания).

Проектирование систем массового обслуживания

Формула является частным случаем модели M/M/N/N (по классификации Кендалла), где поток — пуассоновский, время обслуживания — экспоненциальное, число каналов — \( N \), а максимальное число заявок в системе — \( N \) (без очереди). Она применяется в логистике, транспортных системах, медицинских учреждениях и других областях, где возможны отказы.

Примеры

Пример 1: Расчет числа линий

Предположим, что на телефонную станцию поступает в среднем 100 вызовов в час, средняя длительность разговора — 3 минуты (0.05 часа). Нагрузка \( A = 100 \times 0.05 = 5 \) эрлангов. Допустимая вероятность потери — 2%. Требуется найти число линий \( N \).

Используя рекуррентную формулу или таблицы Эрланга, можно найти, что \( B(10, 5) \approx 0.018 \) (1.8%), а \( B(9, 5) \approx 0.031 \) (3.1%). Таким образом, минимальное число линий — 10.

Пример 2: Оценка качества

При нагрузке 10 эрлангов и 12 линиях вероятность блокировки \( B(12, 10) \approx 0.082 \) (8.2%). Если добавить одну линию (13), \( B(13, 10) \approx 0.052 \) (5.2%). Увеличение числа линий на 1 снижает потери примерно на 3 процентных пункта.

Таблицы и вычисления

Для практического использования существуют таблицы значений формулы Эрланга B, а также онлайн-калькуляторы. В современных инженерных расчетах формулу вычисляют с помощью рекуррентного алгоритма или аппроксимаций, например, приближения Раппа:

\[ B(N, A) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi N}} \cdot \frac{e^{N - A} \cdot A^N}{N^N} \]

для больших \( N \) и \( A \), близких к \( N \).

Критика и ограничения

Формула Эрланга B основана на ряде допущений, которые не всегда выполняются на практике:

• Поток вызовов предполагается пуассоновским (стационарным и без последействия). В реальных системах нагрузка может быть неравномерной (например, в часы пик).
• Время обслуживания считается экспоненциально распределенным, что не всегда соответствует действительности (например, для данных с постоянной длительностью).
• Система предполагается без очереди — все потерянные вызовы немедленно уходят. В реальности часть абонентов может повторять попытки, что изменяет нагрузку.
• Формула не учитывает приоритеты вызовов или различные классы обслуживания.

Несмотря на эти ограничения, формула Эрланга B остается базовым инструментом для первичного проектирования и оценки пропускной способности систем с потерями.

Интересные факты

• Единица измерения нагрузки — эрланг (Эрл) — названа в честь Агнера Эрланга. Один эрланг соответствует нагрузке, создаваемой одним непрерывно занятым каналом в течение часа.
• Формула Эрланга B является частным случаем распределения Пуассона, усеченного до \( N \) состояний.
• В 1950-х годах формула была обобщена для систем с несколькими типами трафика (мультисервисные сети), что привело к появлению формулы Эрланга для мультисервисных систем.