Формула Уилсона

Формула Уилсона (также известная как модель экономичного размера заказа, EOQ-модель, от англ. Economic Order Quantity) — это математическая модель в логистике и управлении запасами, определяющая оптимальный (минимизирующий суммарные затраты) размер партии заказа товара при заданных параметрах спроса, затрат на выполнение заказа и затрат на хранение единицы запаса. Модель была разработана американским инженером и консультантом по управлению Фордом Уилсоном (Ford W. Harris) в 1913 году и является одной из фундаментальных концепций теории управления запасами.

История

Разработка модели

Первая публикация, содержащая формулу, датируется 1913 годом. Форд Уилсон, работавший в компании Westinghouse Electric Corporation, опубликовал статью «How Many Parts to Make at Once» в журнале Factory, The Magazine of Management. В своей работе Уилсон предложил простой аналитический метод для определения размера заказа, который уравновешивает два противоположных типа затрат: затраты на оформление и доставку заказа (которые уменьшаются с увеличением размера партии) и затраты на хранение запасов (которые растут с увеличением размера партии). Изначально модель не получила широкого распространения, но в 1930-е годы, с развитием промышленного производства и появлением первых методов научного менеджмента, она была переоткрыта и популяризирована.

Развитие и модификации

В середине XX века модель Уилсона стала основой для множества более сложных моделей управления запасами, учитывающих неопределенность спроса, скидки за объем, дефицит, многономенклатурные заказы и другие факторы. В 1950-е годы были разработаны модели с учетом вероятностного спроса (модель «точки заказа»), а в 1960-е — модели с фиксированным интервалом между заказами. Несмотря на появление более сложных систем (например, MRP, ERP, JIT), базовая формула Уилсона остается широко используемой как простой и эффективный инструмент для первоначальной оценки оптимального размера заказа.

Математическая формулировка

Основные допущения

Классическая модель Уилсона основана на ряде упрощающих допущений:

• Спрос на товар известен, постоянен и равномерен во времени.
• Время выполнения заказа (lead time) равно нулю или постоянно и известно.
• Заказ поступает на склад мгновенно и полностью.
• Затраты на выполнение одного заказа (стоимость оформления, доставки, приемки) постоянны и не зависят от размера заказа.
• Затраты на хранение единицы товара в единицу времени постоянны.
• Цена товара не зависит от размера заказа (отсутствуют скидки за объем).
• Дефицит товара не допускается.

Формула

Оптимальный размер заказа \( Q^* \) (в единицах товара) вычисляется по формуле:

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2DS}{H}} \]

где:

• \( D \) — годовой спрос (количество единиц товара);
• \( S \) — затраты на выполнение одного заказа (денежных единиц);
• \( H \) — затраты на хранение одной единицы товара в год (денежных единиц).

Связанные показатели

На основе \( Q^* \) рассчитываются:

• Оптимальное количество заказов в год \( N = \frac{D}{Q^*} \).
• Оптимальный интервал между заказами \( T = \frac{1}{N} \) (в годах) или \( T = \frac{365}{N} \) (в днях).
• Минимальные суммарные годовые затраты \( TC = \frac{D}{Q^}S + \frac{Q^}{2}H \), где первое слагаемое — затраты на выполнение заказов, второе — затраты на хранение среднего запаса.

Применение

Сфера использования

Формула Уилсона применяется в:

• Управлении запасами на производственных предприятиях, в оптовой и розничной торговле, на складах.
• Логистике — для оптимизации размеров партий поставок и маршрутов.
• Планировании производства — для определения размера партии выпускаемой продукции (модель EPQ — Economic Production Quantity, являющаяся модификацией EOQ).
• Финансовом менеджменте — для оптимизации денежных потоков, связанных с закупками.

Пример расчета

Предположим, что годовой спрос на товар \( D = 10\,000 \) единиц, затраты на выполнение заказа \( S = 500 \) рублей, а затраты на хранение одной единицы в год \( H = 20 \) рублей. Тогда оптимальный размер заказа:

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \times 10\,000 \times 500}{20}} = \sqrt{500\,000} \approx 707 \text{ единиц}. \]

Оптимальное количество заказов в год: \( N = \frac{10\,000}{707} \approx 14.1 \) заказа. Интервал между заказами: \( T = \frac{365}{14.1} \approx 25.9 \) дней. Минимальные годовые затраты: \( TC = \frac{10\,000}{707} \times 500 + \frac{707}{2} \times 20 \approx 7\,071 + 7\,070 = 14\,141 \) рубль.

Критика и ограничения

Практические ограничения

Классическая модель Уилсона имеет ряд существенных ограничений, которые ограничивают её применение в реальных условиях:

• Предположение о постоянном спросе — в реальности спрос часто носит сезонный, случайный или трендовый характер, что делает модель неточной.
• Игнорирование времени выполнения заказа — в модели предполагается мгновенная поставка, тогда как на практике время выполнения заказа может быть значительным и непостоянным.
• Отсутствие учета скидок — модель не учитывает возможность получения скидок за объем заказа, что может сделать заказ большего размера выгоднее.
• Неучет дефицита — модель не допускает дефицита, хотя в некоторых случаях допущение дефицита может быть экономически оправдано.
• Статичность — модель предполагает, что параметры (спрос, затраты) не меняются со временем, что не соответствует динамике рынка.

Модификации для устранения ограничений

Для преодоления этих ограничений разработаны многочисленные модификации:

• Модель с учетом скидок — позволяет выбирать оптимальный размер заказа с учетом ценовых интервалов.
• Модель с дефицитом — допускает временный дефицит, если затраты на него ниже затрат на хранение избыточного запаса.
• Модель с вероятностным спросом — использует распределение спроса и уровень обслуживания для определения точки заказа.
• Модель с фиксированным интервалом — определяет оптимальный интервал между заказами, а не размер заказа.
• Модель EPQ — учитывает, что заказ производится, а не закупается, и что производство происходит с определенной скоростью.

Значение в теории управления запасами

Формула Уилсона является краеугольным камнем классической теории управления запасами. Она демонстрирует фундаментальный принцип компромисса между затратами на выполнение заказа и затратами на хранение. Несмотря на свою простоту и ограничения, модель остается важным инструментом для первоначальной оценки и обучения. В современных системах управления запасами (например, в ERP-системах) часто используются более сложные алгоритмы, но базовая логика EOQ лежит в основе многих из них.

Источники

• Harris, F. W. (1913). How Many Parts to Make at Once. Factory, The Magazine of Management, 10(2), 135-136.
• Silver, E. A., Pyke, D. F., & Thomas, D. J. (2017). Inventory and Production Management in Supply Chains. Springer.
• Zipkin, P. H. (2000). Foundations of Inventory Management. McGraw-Hill.
• Axsäter, S. (2015). Inventory Control. Springer.