Гамма-распределение

Гамма-распределение — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений вероятностей, заданных на положительной полуоси. Является одним из фундаментальных распределений в теории вероятностей и математической статистике, обобщающим экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат. Широко используется для моделирования случайных величин, которые по своей природе положительны и имеют асимметричную форму, например, времени ожидания, страховых сумм, размеров частиц, концентрации загрязняющих веществ и длительности жизни технических устройств.

Определение и параметры

Гамма-распределение определяется двумя положительными параметрами: параметром формы \( k \) (иногда обозначается \(\alpha\)) и параметром масштаба \( \theta \) (иногда обозначается \(\beta\)). Плотность вероятности для случайной величины \( X \), имеющей гамма-распределение, задаётся формулой:

\[ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0, \]

где \(\Gamma(k)\) — гамма-функция, обобщающая факториал на действительные числа (\( \Gamma(k) = (k-1)! \) для целых \(k\)).

Функция распределения (интегральная функция) не выражается через элементарные функции в общем виде и записывается через неполную гамма-функцию:

\[ F(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k, \frac{x}{\theta}\right), \]

где \(\gamma(k, x/\theta)\) — нижняя неполная гамма-функция.

Альтернативная параметризация

Часто используется альтернативная параметризация с параметром скорости (rate parameter) \(\lambda = 1/\theta\). В этом случае плотность записывается как:

\[ f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}, \quad x > 0. \]

Обе формы эквивалентны и выбор зависит от контекста: параметризация через \(\theta\) удобна при моделировании масштаба, через \(\lambda\) — при моделировании интенсивности событий.

Характеристики

Основные числовые характеристики гамма-распределения:

• Математическое ожидание: \(E[X] = k\theta = k/\lambda\).
• Дисперсия: \(Var[X] = k\theta^2 = k/\lambda^2\).
• Коэффициент асимметрии: \(\gamma_1 = 2/\sqrt{k}\) (положительная асимметрия, убывающая с ростом \(k\)).
• Коэффициент эксцесса: \(\gamma_2 = 6/k\) (избыточный эксцесс, убывающий с ростом \(k\)).
• Мода: \((k-1)\theta\) при \(k \ge 1\); при \(0 < k < 1\) мода равна 0 (распределение имеет монотонно убывающую плотность).
• Производящая функция моментов: \(M_X(t) = (1 - \theta t)^{-k}\) для \(t < 1/\theta\).
• Характеристическая функция: \(\varphi_X(t) = (1 - i\theta t)^{-k}\).

Форма распределения существенно зависит от параметра формы \(k\):

• При \(k = 1\) гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением.
• При \(k < 1\) плотность имеет вид гиперболы с бесконечным пиком в нуле.
• При \(k > 1\) плотность унимодальна (имеет один максимум).
• При \(k \to \infty\) (при фиксированном математическом ожидании) распределение стремится к нормальному (по центральной предельной теореме).

Связь с другими распределениями

Гамма-распределение входит в семейство распределений Пирсона (тип III) и тесно связано с рядом других вероятностных распределений.

Частные случаи

• Экспоненциальное распределение: при \(k = 1\) гамма-распределение сводится к экспоненциальному распределению с параметром \(\lambda = 1/\theta\).
• Распределение Эрланга: частный случай гамма-распределения с целым положительным параметром формы \(k\). Используется в теории массового обслуживания для моделирования времени ожидания в системе с \(k\) последовательными фазами обслуживания.
• Распределение хи-квадрат: при \(k = n/2\) и \(\theta = 2\) (или \(\lambda = 1/2\)) гамма-распределение совпадает с распределением хи-квадрат с \(n\) степенями свободы.
• Распределение Максвелла: при \(k = 3/2\) и соответствующем масштабе.

Связь с другими распределениями

• Бета-распределение: если \(X\) и \(Y\) — независимые гамма-распределённые случайные величины с параметрами \((k_1, \theta)\) и \((k_2, \theta)\), то отношение \(X/(X+Y)\) имеет бета-распределение с параметрами \(k_1\) и \(k_2\).
• Распределение Вейбулла: тесно связано; если \(X\) имеет гамма-распределение, то \(Y = X^{1/\beta}\) имеет распределение Вейбулла при определённых условиях.
• Распределение Накагами: используется в радиотехнике и является обобщением гамма-распределения.
• Распределение обратное гамма: распределение случайной величины \(Y = 1/X\), где \(X\) имеет гамма-распределение.

Аддитивность

Гамма-распределение обладает свойством аддитивности (замкнутости относительно суммирования) при одинаковом масштабном параметре: если \(X_1, X_2, \dots, X_n\) — независимые случайные величины с гамма-распределениями с параметрами \((k_i, \theta)\), то их сумма \(S = \sum X_i\) также имеет гамма-распределение с параметрами \(( \sum k_i, \theta)\).

Применение

Гамма-распределение широко используется в различных областях науки и техники.

Теория надёжности и анализ выживаемости

В теории надёжности гамма-распределение применяется для моделирования времени безотказной работы систем, особенно когда отказ может наступить после накопления некоторого числа повреждений (модель «ударов»). В медицине и биологии используется в анализе выживаемости для моделирования времени до наступления события (смерти, рецидива).

Теория массового обслуживания

Распределение Эрланга (частный случай гамма-распределения) является базовым для моделирования времени обслуживания в системах массового обслуживания. Сумма \(k\) независимых экспоненциально распределённых случайных величин с одинаковым параметром даёт распределение Эрланга.

Финансовая математика и страхование

В актуарных расчётах гамма-распределение используется для моделирования размеров страховых выплат, особенно в страховании имущества и ответственности. В финансовой математике применяется для моделирования доходностей активов и волатильности.

Гидрология и метеорология

Гамма-распределение часто используется для описания распределения осадков, стока рек и других гидрологических величин. Двухпараметрическое гамма-распределение является стандартной моделью для суточных сумм осадков.

Физика и астрофизика

В физике гамма-распределение встречается при описании распределения энергий частиц в некоторых процессах, распределения времени между событиями в пуассоновских процессах, а также в теории фотонной статистики.

Обработка сигналов и изображений

В цифровой обработке изображений гамма-распределение используется для моделирования шума на изображениях, полученных при слабом освещении (шум фотонного детектирования). В радиолокации применяется для описания распределения амплитуд сигналов.

Оценивание параметров

Для оценки параметров гамма-распределения по выборке используются различные методы.

Метод моментов

Оценки методом моментов получаются приравниванием выборочного среднего \(\bar{x}\) и выборочной дисперсии \(s^2\) к теоретическим моментам:

\[ \hat{k} = \frac{\bar{x}^2}{s^2}, \quad \hat{\theta} = \frac{s^2}{\bar{x}}. \]

Метод максимального правдоподобия

Оценки максимального правдоподобия для параметров гамма-распределения не имеют аналитического выражения в замкнутой форме и находятся численно. Логарифмическая функция правдоподобия для выборки \(x_1, \dots, x_n\) имеет вид:

\[ \ln L(k, \theta) = (k-1)\sum \ln x_i - \frac{1}{\theta}\sum x_i - nk\ln \theta - n\ln \Gamma(k). \]

Решение системы уравнений правдоподобия обычно требует применения итерационных методов, таких как метод Ньютона-Рафсона.

Генерация случайных чисел

Для генерации случайных чисел с гамма-распределением используются различные алгоритмы. Для целых значений параметра формы \(k\) (распределение Эрланга) достаточно просуммировать \(k\) экспоненциально распределённых случайных величин. Для произвольных \(k > 0\) применяются более сложные методы, такие как алгоритм Марсальи-Цанга или алгоритм Ахмеда-Беста.

История

Гамма-распределение было впервые введено в математическую статистику в конце XIX — начале XX века. Название связано с использованием гамма-функции в его определении. Важный вклад в развитие теории гамма-распределения внесли Карл Пирсон (включил его в свою систему распределений как тип III), а также Рональд Фишер, развивший методы оценки параметров. Распределение Эрланга, названное в честь датского математика Агнера Крарупа Эрланга, было предложено в 1909 году для решения задач телефонной связи.

Интересные факты

• Гамма-распределение является сопряжённым априорным распределением для параметра \(\lambda\) пуассоновского распределения в байесовской статистике. Это означает, что если априорное распределение для \(\lambda\) является гамма-распределением, то и апостериорное распределение также будет гамма-распределением (с обновлёнными параметрами).
• При \(k = 1\) гамма-распределение совпадает с экспоненциальным, которое описывает время между событиями в простейшем пуассоновском потоке.
• Гамма-распределение является частным случаем распределения Пирсона типа III и распределения обобщённого гамма-распределения, которое включает также распределение Вейбулла и логнормальное распределение как предельные случаи.
• В квантовой оптике гамма-распределение описывает статистику фотонов в тепловом (хаотическом) свете.

Источники

• Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1988.
• Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966.
• Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьёв А.Д. Математические методы в теории надёжности. — М.: Наука, 1965.
• Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions. Vol. 1. — 2nd ed. — Wiley, 1994.
• Forbes C., Evans M., Hastings N., Peacock B. Statistical Distributions. — 4th ed. — Wiley, 2011.