Логнормальное распределение

Логнормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей случайной величины, логарифм которой имеет нормальное распределение. Иными словами, если случайная величина \( Y = \ln X \) подчиняется нормальному распределению (с параметрами \( \mu \) и \( \sigma^2 \)), то величина \( X \) имеет логнормальное распределение. Оно широко применяется в различных областях науки и техники для моделирования величин, которые не могут принимать отрицательные значения и демонстрируют положительную асимметрию (скошенность вправо). К таким величинам относятся, например, доходы населения, цены активов, размеры частиц, продолжительность некоторых биологических процессов и времена безотказной работы.

Определение и параметры

Логнормальное распределение задаётся двумя параметрами: \( \mu \) (мю) и \( \sigma \) (сигма). Важно понимать, что \( \mu \) и \( \sigma \) — это параметры не самой величины \( X \), а её натурального логарифма \( \ln X \). Параметр \( \mu \) является средним значением логарифма, а \( \sigma \) — стандартным отклонением логарифма. Функция плотности вероятности (PDF) логнормального распределения имеет вид:

\[ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad x > 0 \]

где \( x \) — значение случайной величины, \( \exp \) — экспоненциальная функция. Для \( x \leq 0 \) плотность равна нулю, что отражает неотрицательный характер логнормальной величины.

Функция распределения (CDF) выражается через функцию распределения стандартного нормального распределения \( \Phi \):

\[ F(x; \mu, \sigma) = \Phi\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right), \quad x > 0 \]

Числовые характеристики

Математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия логнормального распределения выражаются через параметры \( \mu \) и \( \sigma \):

• Математическое ожидание: \( E[X] = \exp\left( \mu + \frac{\sigma^2}{2} \right) \)
• Дисперсия: \( Var[X] = \left( \exp(\sigma^2) - 1 \right) \exp(2\mu + \sigma^2) \)
• Медиана: \( \text{Med}[X] = \exp(\mu) \)
• Мода: \( \text{Mode}[X] = \exp(\mu - \sigma^2) \)

Из этих формул видно, что для логнормального распределения среднее значение всегда больше медианы, а медиана больше моды, что является следствием положительной асимметрии. Коэффициент асимметрии (скошенности) положителен и растёт с увеличением \( \sigma \).

Свойства

Логнормальное распределение обладает рядом важных свойств, которые обуславливают его широкое применение.

• Неотрицательность: Случайная величина с логнормальным распределением принимает только положительные значения. Это делает её естественной моделью для многих физических, экономических и биологических величин.
• Связь с нормальным распределением: Если \( X \) имеет логнормальное распределение, то \( Y = \ln X \) имеет нормальное распределение. Это свойство позволяет использовать мощный математический аппарат нормального распределения для анализа логнормальных данных. Например, доверительные интервалы для \( \mu \) и \( \sigma \) можно строить, применяя методы для нормального распределения к логарифмированным данным.
• Произведение независимых величин: Произведение независимых логнормальных случайных величин также имеет логнормальное распределение. Это свойство является аналогом того, что сумма независимых нормальных величин распределена нормально. Оно широко используется в финансовой математике для моделирования цен активов.
• Масштабирование: Если \( X \) имеет логнормальное распределение, то \( cX \) (где \( c > 0 \)) также имеет логнормальное распределение. При этом параметр \( \mu \) изменяется на \( \ln c \), а параметр \( \sigma \) остаётся неизменным.
• Форма распределения: Форма логнормального распределения сильно зависит от параметра \( \sigma \). При малых значениях \( \sigma \) (например, \( \sigma < 0.3 \)) распределение близко к симметричному и напоминает нормальное. При увеличении \( \sigma \) распределение становится всё более асимметричным, с длинным «хвостом» вправо, что означает наличие редких, но очень больших значений.

История

Впервые логнормальное распределение было описано в XIX веке. Одним из первых его применил бельгийский математик Адольф Кетле (Adolphe Quetelet) при анализе распределения доходов. Однако систематическое изучение и формальное определение распределения связано с работами британского статистика и биолога Карла Пирсона (Karl Pearson) в конце XIX — начале XX века. Пирсон включил логнормальное распределение в свою систему распределений (тип V) и исследовал его свойства.

В XX веке логнормальное распределение получило широкое распространение в различных дисциплинах. В 1930-х годах его начали применять в геологии для анализа размеров частиц и содержания полезных ископаемых. В 1950-х годах оно стало ключевым инструментом в экономике и финансах, в частности, в модели Блэка — Шоулза (Black-Scholes model) для оценки опционов, где предполагается, что цены активов следуют логнормальному распределению. В биологии и медицине логнормальное распределение используется для моделирования времени инкубации заболеваний, роста опухолей и других процессов.

Применение

Логнормальное распределение находит применение в самых разных областях.

Экономика и финансы

• Распределение доходов и богатства: Доходы и размеры состояний в обществе часто хорошо аппроксимируются логнормальным распределением, особенно для нижних и средних уровней.
• Цены активов: В классической финансовой теории предполагается, что цены акций и других финансовых инструментов следуют геометрическому броуновскому движению, что приводит к логнормальному распределению цен. Это лежит в основе модели Блэка — Шоулза.
• Продолжительность безработицы: Время, которое человек проводит в поиске работы, часто описывается логнормальным распределением.

Биология и медицина

• Размеры биологических объектов: Размеры клеток, органов, организмов (например, вес млекопитающих, длина листьев) часто подчиняются логнормальному закону.
• Инкубационные периоды: Время от заражения до проявления симптомов некоторых инфекционных заболеваний (например, гепатита B, СПИДа) хорошо моделируется логнормальным распределением.
• Фармакокинетика: Концентрация лекарственного вещества в крови после приёма дозы часто имеет логнормальное распределение.

Техника и физика

• Размеры частиц: Распределение частиц по размерам в аэрозолях, порошках, эмульсиях часто является логнормальным.
• Надёжность: Время до отказа некоторых типов оборудования, особенно в условиях износа или усталости, может следовать логнормальному распределению.
• Геология: Содержание полезных ископаемых в руде, размеры золотых самородков и другие геологические характеристики часто имеют логнормальное распределение.

Другие области

• Лингвистика: Частота употребления слов в тексте (закон Ципфа) имеет связь с логнормальным распределением.
• Экология: Численность популяций видов в экосистеме часто описывается логнормальным распределением.

Связь с другими распределениями

• Нормальное распределение: Как уже отмечалось, логарифм логнормальной величины имеет нормальное распределение. Это основная связь.
• Распределение Парето: Оба распределения имеют «тяжёлые хвосты» и используются для моделирования неравенства доходов. Однако хвост распределения Парето убывает медленнее (степенным образом), чем хвост логнормального распределения (экспоненциальным образом от квадрата логарифма). Для больших значений логнормальное распределение даёт более быстрое убывание вероятности.
• Гамма-распределение: Логнормальное и гамма-распределение имеют схожую форму (положительная асимметрия) и часто используются как альтернативы друг другу. Выбор между ними часто основывается на удобстве расчётов или эмпирической подгонке.

Критика и ограничения

Несмотря на широкое применение, логнормальное распределение имеет и ограничения. Основное из них — это его «тяжёлый» правый хвост. В некоторых приложениях, например, в финансах, реальные данные могут демонстрировать ещё более «тяжёлые» хвосты, чем предсказывает логнормальное распределение. Это означает, что экстремальные события (например, резкие падения рынка) происходят чаще, чем это следует из модели. В таких случаях могут использоваться распределения с более «тяжёлыми» хвостами, такие как распределение Парето или распределение Стюдента.

Кроме того, логнормальное распределение не всегда адекватно описывает данные с большим количеством нулевых значений, так как оно определено только для положительных чисел.

Источники

1. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Финансы и статистика, 1983.
2. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.
3. Лим, Т. К. Логнормальное распределение: свойства и приложения. — М.: Мир, 1988.
4. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. — 2nd ed. — Wiley, 1994.
5. Crow, E. L., & Shimizu, K. (Eds.). Lognormal Distributions: Theory and Applications. — Marcel Dekker, 1988.