Гиперболические группы

Гиперболическая группа — это конечно порождённая группа, на которой задана левоинвариантная метрика, удовлетворяющая определённым условиям отрицательной кривизны в смысле Громова. Введённые Михаилом Громовым в конце 1980-х годов, гиперболические группы представляют собой один из центральных объектов геометрической теории групп, обобщающий свойства фундаментальных групп многообразий отрицательной кривизны и свободных групп.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений гиперболичности группы. Наиболее распространённое основано на понятии гиперболичности метрического пространства по Громову.

Пусть \(G\) — конечно порождённая группа с конечным симметричным порождающим множеством \(S\). На \(G\) можно задать левоинвариантную метрику \(d\) — расстояние между элементами определяется как длина кратчайшего слова в алфавите \(S\), представляющего разность этих элементов. Эта метрика называется словесной метрикой. Группа \(G\) называется гиперболической, если метрическое пространство \((G, d)\) является гиперболическим по Громову.

Метрическое пространство \((X, d)\) называется гиперболическим по Громову, если существует такое \(\delta \ge 0\), что для любых четырёх точек \(x, y, z, w \in X\) выполняется неравенство: \[ (x|y)_w \ge \min\left((x|z)_w, (z|y)_w\right) - \delta, \] где \((x|y)_w = \frac{1}{2}\left(d(x,w) + d(y,w) - d(x,y)\right)\) — произведение Громова. Интуитивно это условие означает, что геодезические треугольники в таком пространстве являются «тонкими»: любая сторона треугольника лежит в \(\delta\)-окрестности объединения двух других сторон.

Свойство гиперболичности не зависит от выбора конечного порождающего множества \(S\) (хотя константа \(\delta\) может меняться). Таким образом, гиперболичность является инвариантом самой группы, а не её конкретного представления.

История

Понятие гиперболической группы было введено Михаилом Громовым в его основополагающей работе «Гиперболические группы» (1987). Идея возникла из попытки обобщить свойства фундаментальных групп компактных римановых многообразий отрицательной секционной кривизны. Громов показал, что многие геометрические свойства таких многообразий (например, существование границы на бесконечности, разрешимость проблемы слов) могут быть выражены чисто комбинаторно-групповыми условиями.

В 1990-е годы теория гиперболических групп активно развивалась. Были установлены фундаментальные результаты о структуре таких групп, их границах, разрешимости алгоритмических проблем. В 2002 году Громов получил Абелевскую премию, в том числе за развитие этой теории.

Примеры

Классические примеры

1. Конечные группы. Любая конечная группа является гиперболической, так как её граф Кэли имеет конечный диаметр.
2. Свободные группы. Свободная группа \(F_n\) с \(n \ge 2\) образующими является гиперболической. Её граф Кэли — это бесконечное регулярное дерево, которое является \(\delta\)-гиперболическим с \(\delta = 0\).
3. Фундаментальные группы замкнутых поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики. Например, фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода \(g \ge 2\) является гиперболической.
4. Фундаментальные группы компактных гиперболических многообразий. Любое компактное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны имеет гиперболическую фундаментальную группу.

Непримеры

1. Свободные абелевы группы. Группа \(\mathbb{Z}^n\) при \(n \ge 2\) не является гиперболической, так как в ней существуют «толстые» треугольники.
2. Группы полиномиального роста. Группы, имеющие полиномиальный рост, не являются гиперболическими, за исключением конечных групп.
3. Группы с нетривиальным центром. Если центр группы содержит элемент бесконечного порядка, то группа не может быть гиперболической.

Свойства

Алгоритмические свойства

Гиперболические группы обладают рядом важных алгоритмических свойств:

• Разрешимость проблемы слов. Существует алгоритм, определяющий, равен ли данный элемент группы единице. Для гиперболических групп проблема слов разрешима за линейное время (в длине слова).
• Разрешимость проблемы сопряжённости. Существует алгоритм, определяющий, сопряжены ли два данных элемента группы.
• Разрешимость проблемы изоморфизма для гиперболических групп (доказано З. Салайем в 2000-х годах).

Геометрические свойства

• Квазигеодезические. В гиперболических группах квазигеодезические отрезки близки к геодезическим (свойство «квазигеодезической стабильности»).
• Граница на бесконечности. Каждая гиперболическая группа имеет компактное метрическое пространство — границу Громова, которое инвариантно относительно квазиизометрий.
• Квазиизометрическая жёсткость. Гиперболические группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они комменсабельны (в определённом смысле).

Алгебраические свойства

• Конечное число классов сопряжённости элементов конечного порядка. В гиперболической группе существует лишь конечное число элементов конечного порядка с точностью до сопряжённости.
• Отсутствие подгрупп, изоморфных \(\mathbb{Z}^2\). Гиперболическая группа не может содержать подгруппу, изоморфную свободной абелевой группе ранга 2.
• Центр конечен. Центр любой гиперболической группы является конечной группой.

Классификация

Элементарные и неэлементарные группы

Гиперболическая группа называется элементарной, если она является конечной или содержит циклическую подгруппу конечного индекса. В противном случае группа называется неэлементарной. Неэлементарные гиперболические группы имеют бесконечную границу Громова и содержат свободные подгруппы ранга 2.

Типы элементов

Элемент \(g\) гиперболической группы может быть одного из трёх типов:

1. Эллиптический — элемент конечного порядка.
2. Параболический — элемент бесконечного порядка, не являющийся гиперболическим (встречается только в некоторых группах, например, в группах с параболическими элементами на границе).
3. Гиперболический — элемент бесконечного порядка, имеющий ровно две неподвижные точки на границе Громова.

Применение

В топологии

Гиперболические группы естественно возникают как фундаментальные группы гиперболических многообразий. Теория гиперболических групп позволяет изучать такие многообразия комбинаторными методами.

В теории групп

Гиперболические группы служат важным классом для проверки гипотез о разрешимости алгоритмических проблем. Они также являются строительными блоками для более сложных групп, таких как группы, действующие на гиперболических пространствах.

В геометрии

Понятие гиперболичности по Громову обобщает классическую гиперболическую геометрию на случай дискретных групп и метрических пространств.

Интересные факты

• Гиперболические группы являются частным случаем более общего класса — групп, действующих кокомпактно на гиперболических пространствах.
• Проблема изоморфизма для гиперболических групп была решена только в 2000-х годах, хотя сама теория возникла на 15 лет раньше.
• Существуют гиперболические группы, не являющиеся фундаментальными группами никакого компактного многообразия отрицательной кривизны (например, некоторые группы, построенные М. Громовым).

Источники

• Громов М. Гиперболические группы. — В кн.: Очерки по геометрической теории групп. — М.: Мир, 1991.
• Bridson M. R., Haefliger A. Metric Spaces of Non-Positive Curvature. — Springer, 1999.
• Ghys É., de la Harpe P. (eds.) Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. — Birkhäuser, 1990.
• Kapovich I., Benakli N. Boundaries of hyperbolic groups. — Contemporary Mathematics, 2002.