Гомотетия

Гомотетия — это преобразование плоскости или пространства, при котором каждой точке ставится в соответствие другая точка, лежащая на одной прямой с фиксированной точкой (центром гомотетии), причём отношение расстояний от центра до образа и до прообраза является постоянным числом (коэффициентом гомотетии). Гомотетия является частным случаем подобия, а именно центральным подобием. В отличие от движения (изометрии), гомотетия изменяет расстояния между точками, но сохраняет углы и форму фигур, увеличивая или уменьшая их размеры.

Определение и основные свойства

Пусть задана точка \(O\) — центр гомотетии, и действительное число \(k \neq 0\) — коэффициент гомотетии. Гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) называется преобразование, при котором произвольная точка \(X\) отображается в точку \(X'\) такую, что:

• Точки \(O\), \(X\) и \(X'\) лежат на одной прямой.
• Вектор \(\overrightarrow{OX'} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

Если \(k > 0\), то точка \(X'\) лежит на луче \(OX\) (гомотетия с положительным коэффициентом). Если \(k < 0\), то точка \(X'\) лежит на продолжении луча \(OX\) за точку \(O\) (гомотетия с отрицательным коэффициентом, или центральная симметрия с растяжением). При \(k = 1\) гомотетия является тождественным преобразованием. При \(k = -1\) гомотетия превращается в центральную симметрию относительно точки \(O\).

Ключевые свойства гомотетии:

1. Сохранение коллинеарности: если три точки лежат на одной прямой, то их образы также лежат на одной прямой.
2. Сохранение параллельности: образом прямой, не проходящей через центр гомотетии, является прямая, параллельная исходной. Прямая, проходящая через центр, отображается сама в себя.
3. Сохранение углов: углы между прямыми при гомотетии не изменяются.
4. Изменение расстояний: расстояние между любыми двумя точками \(X\) и \(Y\) изменяется в \(|k|\) раз: \(|X'Y'| = |k| \cdot |XY|\).
5. Отображение фигур: гомотетия переводит любую фигуру в подобную ей фигуру. При этом если \(k > 0\), то фигура сохраняет ориентацию; если \(k < 0\), то ориентация меняется на противоположную.

Виды гомотетии

Гомотетии классифицируются по знаку и абсолютной величине коэффициента \(k\):

• Гомотетия с положительным коэффициентом (\(k > 0\)). Образ и прообраз расположены по одну сторону от центра. При \(0 < k < 1\) происходит сжатие (уменьшение) фигуры к центру; при \(k > 1\) — растяжение (увеличение) от центра.
• Гомотетия с отрицательным коэффициентом (\(k < 0\)). Образ и прообраз расположены по разные стороны от центра. При \(k < -1\) происходит растяжение с отражением; при \(-1 < k < 0\) — сжатие с отражением. Частный случай — центральная симметрия (\(k = -1\)).
• Вырожденный случай (\(k = 0\)). Формально не является гомотетией, так как все точки отображаются в центр \(O\), что не является взаимно однозначным преобразованием.

Гомотетия в геометрии

На плоскости

Гомотетия на плоскости задаётся центром и коэффициентом. Если центр гомотетии находится в начале координат, то преобразование задаётся простым умножением координат точки на \(k\): \[ (x, y) \mapsto (k x, k y). \] При этом центр гомотетии является неподвижной точкой (остаётся на месте). Все остальные точки, кроме центра, смещаются.

В пространстве

Гомотетия в трёхмерном пространстве определяется аналогично: с центром \(O\) и коэффициентом \(k\). В координатной форме (при центре в начале координат): \[ (x, y, z) \mapsto (k x, k y, k z). \] Гомотетия в пространстве сохраняет коллинеарность, параллельность плоскостей и прямых, а также углы между ними. Объём тела изменяется в \(|k|^3\) раз.

Связь с другими преобразованиями

• Подобие. Гомотетия является частным случаем подобия (преобразования, сохраняющего форму, но не обязательно размеры). Любое подобие можно представить как композицию гомотетии и движения (изометрии). Например, поворот с масштабированием — это композиция гомотетии и поворота.
• Аффинные преобразования. Гомотетия является частным случаем аффинного преобразования — преобразования, сохраняющего параллельность прямых. В отличие от произвольного аффинного преобразования, гомотетия сохраняет не только параллельность, но и углы, а также отношение длин отрезков на одной прямой.
• Центральная симметрия. Является гомотетией с коэффициентом \(k = -1\).
• Гомотетия и подобие фигур. Две фигуры называются гомотетичными, если одна может быть получена из другой с помощью гомотетии. Например, любые два круга (или два шара) гомотетичны друг другу. Два треугольника могут быть гомотетичны, если они подобны и соответствующие стороны параллельны.

Применение

Гомотетия широко используется в различных областях математики и её приложений:

• Геометрия: при доказательстве теорем (например, теоремы Фалеса, теоремы о пересечении медиан треугольника), при решении задач на построение, при изучении свойств подобных фигур.
• Аналитическая геометрия: для описания масштабирования графиков функций и преобразования координат.
• Компьютерная графика и геометрическое моделирование: гомотетия (масштабирование) является одним из базовых аффинных преобразований, используемых для изменения размеров объектов, создания анимации, работы с векторными изображениями и 3D-моделями.
• Картография: при создании карт разных масштабов используется центральное проектирование, частным случаем которого является гомотетия (при проекции на плоскость, параллельную исходной).
• Физика: в оптике (при рассмотрении хода лучей в линзах и зеркалах), в теории подобия (при моделировании физических процессов).
• Биология: при описании законов подобия организмов (например, закон квадрата-куба, связывающий изменение размеров с изменением площади поверхности и объёма).

Интересные факты

• Композиция двух гомотетий с разными центрами, как правило, является либо гомотетией, либо параллельным переносом. Если произведение коэффициентов равно 1, то композиция является переносом; в противном случае — гомотетией с коэффициентом, равным произведению, и центром, лежащим на прямой, соединяющей исходные центры.
• Гомотетия является одним из немногих преобразований, которые сохраняют отношение «лежать между» и «быть коллинеарными».
• В проективной геометрии гомотетия рассматривается как частный случай перспективного преобразования (гомологии), когда ось гомологии является бесконечно удалённой прямой.

Источники

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение, 2013.
2. Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение, 1990.
3. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
4. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964.
5. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Том 1. — М.: ГИТТЛ, 1955.