Группа диэдра D₅¶

Группа диэдра D₅ — это группа симметрий правильного пятиугольника, включающая все возможные повороты и отражения, переводящие фигуру саму в себя. В общей теории групп группа диэдра D₅ относится к классу диэдральных групп D_n, где n = 5, и является конечной неабелевой группой порядка 10. Она описывает симметрию правильного пятиугольника как на плоскости, так и в пространстве, и находит применение в геометрии, теории представлений, кристаллографии и химии, в частности при описании молекул с симметрией правильного пятиугольника, например, некоторых металлоорганических соединений.

¶Определение и основные свойства

Группа диэдра D₅ состоит из 10 элементов: 5 поворотов (включая тождественное преобразование) и 5 отражений. Повороты осуществляются вокруг центра пятиугольника на углы, кратные 72° (360° / 5). Отражения проводятся относительно осей симметрии, проходящих через вершину и середину противоположной стороны (для правильного пятиугольника таких осей 5). Все элементы группы можно представить как преобразования плоскости, сохраняющие расстояния (изометрии).

Группа D₅ является неабелевой, то есть порядок выполнения операций (поворотов и отражений) влияет на результат. Коммутатор подгруппы поворотов и отражений не равен единице. Порядок группы (число элементов) равен 10. Группа D₅ изоморфна знакопеременной группе A₅? (нет, A₅ имеет порядок 60, D₅ изоморфна полупрямому произведению циклической группы C₅ на группу порядка 2, обозначаемому как C₅ ⋊ C₂).

¶Обозначения и представления

Группа D₅ может быть задана образующими и соотношениями. Пусть r — поворот на 72° по часовой стрелке, а s — отражение относительно одной из осей симметрии. Тогда:

• r⁵ = e (тождественное преобразование)
• s² = e
• s r s = r⁻¹ (или s r = r⁻¹ s)

Здесь e — единичный элемент группы. Эти соотношения полностью определяют D₅. В матричной форме элементы группы могут быть представлены как ортогональные матрицы 2×2 с определителем ±1, действующие на векторы плоскости. Повороты соответствуют матрицам с определителем +1, отражения — с определителем -1. Например, поворот на угол 72° задаётся матрицей:

\[ r = \begin{pmatrix} \cos 72^\circ & -\sin 72^\circ \\ \sin 72^\circ & \cos 72^\circ \end{pmatrix} \]

Отражение относительно оси, проходящей через вершину (1,0), может быть задано матрицей:

\[ s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

¶Таблица Кэли

Таблица Кэли для группы D₅ показывает результат умножения любых двух элементов. Для удобства элементы обозначим: e (единица), r, r², r³, r⁴ (повороты), s, s r, s r², s r³, s r⁴ (отражения). Умножение выполняется слева направо: сначала применяется элемент, указанный в столбце, затем — в строке.

¶Подгруппы и классы сопряжённости

Группа D₅ имеет следующие подгруппы:

• Тривиальная подгруппа {e}.
• Циклическая подгруппа поворотов C₅ = {e, r, r², r³, r⁴} порядка 5. Она является нормальной подгруппой индекса 2.
• Пять подгрупп порядка 2, каждая порождена одним отражением: {e, s}, {e, s r}, {e, s r²}, {e, s r³}, {e, s r⁴}. Все они изоморфны циклической группе C₂.
• Сама группа D₅.

Классы сопряжённости в D₅:

• {e} — единичный элемент.
• {r, r⁴} — повороты на 72° и 288°.
• {r², r³} — повороты на 144° и 216°.
• {s, s r, s r², s r³, s r⁴} — все пять отражений (один класс).

Таким образом, группа D₅ имеет 4 класса сопряжённости, что соответствует числу неприводимых представлений.

¶Неприводимые представления

Группа D₅ имеет 4 неприводимых представления над полем комплексных чисел:

• Тривиальное представление (размерность 1): все элементы отображаются в 1.
• Знаковое представление (размерность 1): повороты отображаются в 1, отражения — в -1.
• Два двумерных представления (размерность 2): они задают действие группы на плоскости и соответствуют поворотам и отражениям, но с разными характерами. Характеры этих представлений можно вычислить по формуле для диэдральных групп: для поворотов на угол 2πk/5 характер равен 2 cos(2πk/5), для отражений — 0. Для k=1 и k=2 получаются два различных представления.

Таблица характеров для D₅ (над C):

Здесь cos(72°) ≈ 0,3090, cos(144°) ≈ -0,8090.

¶Применение в химии и физике

Группа D₅ описывает точечную группу симметрии молекул, имеющих форму правильного пятиугольника или близкую к ней. Например, молекула циклопентадиенильного аниона (C₅H₅⁻) в сэндвичевых соединениях типа ферроцена (Fe(C₅H₅)₂) обладает симметрией D₅ (или D₅h, если учитывать плоскость, перпендикулярную оси). В таких молекулах группа D₅ используется для классификации молекулярных орбиталей, колебательных мод и электронных состояний. В кристаллографии группа D₅ встречается редко, так как пятикратная симметрия несовместима с трансляционной периодичностью кристаллических решёток (за исключением квазикристаллов).

¶Интересные факты

• Группа D₅ является наименьшей неабелевой группой, порядок которой не является степенью простого числа (10 = 2·5). Она также является группой порядка 10, единственной неабелевой группой этого порядка (вторая — циклическая C₁₀, абелева).
• В теории узлов группа D₅ возникает как группа симметрии некоторых узлов, например, узла-пентаграммы.
• В музыке группа D₅ может описывать симметрии звукорядов, основанных на пяти нотах (пентатоника), если рассматривать транспозиции и инверсии.

¶Источники

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — М.: Физматлит, 2004.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1989 (раздел о симметрии молекул).
• Херстейн И. Н. Неабелевы группы. — М.: Мир, 1972.