Циклическая подгруппа¶

Циклическая подгруппа — это подгруппа группы, порождённая одним элементом. В теории групп циклические подгруппы являются простейшими и наиболее изученными объектами, на основе которых строятся более сложные алгебраические структуры. Каждая циклическая подгруппа состоит из всех целых степеней (в мультипликативной записи) или кратных (в аддитивной записи) порождающего элемента.

¶Определение и основные свойства

Пусть \( G \) — группа, а \( g \in G \) — произвольный элемент. Циклическая подгруппа, порождённая элементом \( g \), обозначается \(\langle g \rangle\) и определяется как множество всех степеней элемента \( g \):

\[ \langle g \rangle = \{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \}, \]

где \( g^0 = e \) (единичный элемент группы), а \( g^{-n} = (g^{-1})^n \). В аддитивной записи (для абелевых групп) это множество имеет вид:

\[ \langle g \rangle = \{ n g \mid n \in \mathbb{Z} \}. \]

¶Ключевые свойства

1. Замкнутость: произведение любых двух элементов \(\langle g \rangle\) также принадлежит \(\langle g \rangle\), так как \( g^m \cdot g^n = g^{m+n} \).
2. Ассоциативность: наследуется от группы \( G \).
3. Наличие единицы: \( e = g^0 \) входит в \(\langle g \rangle\).
4. Наличие обратного: для \( g^n \) обратным является \( g^{-n} \).

Таким образом, \(\langle g \rangle\) действительно является подгруппой \( G \).

¶Порядок элемента и порядок подгруппы

Порядок элемента \( g \) — это наименьшее положительное целое число \( n \) такое, что \( g^n = e \). Если такого числа не существует, говорят, что элемент имеет бесконечный порядок. Порядок циклической подгруппы \(\langle g \rangle\) совпадает с порядком порождающего элемента \( g \).

• Если \( |g| = n \) (конечен), то \(\langle g \rangle\) состоит из \( n \) различных элементов: \( e, g, g^2, \ldots, g^{n-1} \).
• Если \( g \) имеет бесконечный порядок, то \(\langle g \rangle\) изоморфна аддитивной группе целых чисел \(\mathbb{Z}\).

¶Классификация циклических подгрупп

Циклические подгруппы делятся на два типа по порядку.

¶Конечные циклические подгруппы

Конечная циклическая подгруппа порядка \( n \) изоморфна аддитивной группе остатков по модулю \( n \), обозначаемой \(\mathbb{Z}_n\) или \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). В такой подгруппе каждый элемент является степенью порождающего, и подгруппа имеет ровно \(\varphi(n)\) порождающих элементов, где \(\varphi\) — функция Эйлера.

¶Бесконечные циклические подгруппы

Бесконечная циклическая подгруппа изоморфна аддитивной группе целых чисел \(\mathbb{Z}\). В ней ровно два порождающих элемента: \( g \) и \( g^{-1} \). Такая подгруппа не имеет элементов конечного порядка, кроме единицы.

¶Примеры циклических подгрупп

1. Группа целых чисел по сложению: \(\mathbb{Z}\) сама является циклической группой, порождённой элементом 1. Её подгруппы — это \( n\mathbb{Z} \) (множества чисел, кратных \( n \)), которые также являются циклическими.
2. Группа вращений правильного многоугольника: группа вращений квадрата (порядка 4) порождается поворотом на 90°. Все её подгруппы циклические: \(\{e\}\), \(\{e, \text{поворот на } 180^\circ\}\), и сама группа.
3. Мультипликативная группа комплексных чисел: корни \( n \)-й степени из единицы образуют конечную циклическую подгруппу порядка \( n \) в группе \(\mathbb{C}^\times\).
4. Группа перестановок: в симметрической группе \( S_3 \) подгруппа, порождённая циклом длины 3, является циклической порядка 3.

¶Подгруппы циклических групп

Одно из важнейших свойств циклических групп — их подгруппы также являются циклическими. Это утверждение верно как для конечных, так и для бесконечных циклических групп.

¶Теорема о подгруппах циклической группы

Пусть \( G = \langle g \rangle \) — циклическая группа.

• Если \( G \) бесконечна, то любая её подгруппа имеет вид \(\langle g^k \rangle\) для некоторого неотрицательного целого \( k \), причём различные \( k \) дают различные подгруппы.
• Если \( G \) конечна порядка \( n \), то для каждого положительного делителя \( d \) числа \( n \) существует ровно одна подгруппа порядка \( d \), порождённая элементом \( g^{n/d} \). Других подгрупп нет.

¶Пример

Для циклической группы порядка 12, порождённой элементом \( g \), её подгруппы:

• порядка 1: \(\langle g^{12} \rangle = \{e\}\);
• порядка 2: \(\langle g^6 \rangle\);
• порядка 3: \(\langle g^4 \rangle\);
• порядка 4: \(\langle g^3 \rangle\);
• порядка 6: \(\langle g^2 \rangle\);
• порядка 12: \(\langle g \rangle\).

¶Связь с другими алгебраическими понятиями

¶Циклические группы

Группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом. Таким образом, циклическая группа — это группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп. Примеры: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}_n\), группа корней из единицы.

¶Прямое произведение

Прямое произведение двух циклических групп может быть циклическим только в том случае, если их порядки взаимно просты. В противном случае получается нециклическая абелева группа (например, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) — группа Клейна).

¶Гомоморфизмы

Образ циклической подгруппы при гомоморфизме групп также является циклической подгруппой. Ядро гомоморфизма, ограниченного на циклическую подгруппу, может быть либо тривиальным, либо совпадать с самой подгруппой (если элемент переходит в единицу).

¶Применение в теории групп

Циклические подгруппы играют фундаментальную роль в классификации конечных групп. Например:

• Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы (в том числе циклической) делит порядок группы. Это позволяет анализировать возможные порядки элементов.
• Структура абелевых групп: любая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение циклических подгрупп (теорема о классификации конечных абелевых групп).
• Группы простого порядка: любая группа простого порядка является циклической, так как любой неединичный элемент порождает всю группу.

¶Интересные факты

• В любой конечной группе число элементов, порождающих одну и ту же циклическую подгруппу, равно \(\varphi(|H|)\), где \( H \) — эта подгруппа.
• Циклические подгруппы являются единственными подгруппами, которые могут быть порождены одним элементом. Более сложные подгруппы требуют нескольких порождающих.
• В теории представлений циклические подгруппы используются для изучения характеров и разложения регулярного представления.

¶Источники

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — М.: Физматлит, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Херстейн И. Н. Неабелевы группы. — М.: Мир, 1972.