Группа единиц кольца

Группа единиц кольца — это мультипликативная группа, состоящая из всех обратимых элементов данного кольца. В теории колец и абстрактной алгебре группа единиц является фундаментальным объектом, позволяющим изучать структуру кольца через его обратимые элементы. Для кольца \( R \) группа единиц обозначается \( R^{\times} \) или \( U(R) \). Элемент \( a \in R \) называется единицей, если существует такой элемент \( b \in R \), что \( a \cdot b = b \cdot a = 1_R \), где \( 1_R \) — мультипликативная единица кольца. Группа единиц замкнута относительно умножения, содержит единицу и обратные элементы, что делает её группой.

Определение и основные свойства

Формальное определение

Пусть \( R \) — кольцо с единицей \( 1_R \). Множество \( U(R) = \{ a \in R \mid \exists b \in R : ab = ba = 1_R \} \) называется группой единиц кольца \( R \). Операция умножения в \( R \) индуцирует групповую операцию на \( U(R) \). Проверка аксиом группы:

• Замкнутость: если \( a, b \in U(R) \), то \( (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \in R \), следовательно, \( ab \in U(R) \).
• Ассоциативность: наследуется из ассоциативности умножения в кольце.
• Нейтральный элемент: \( 1_R \in U(R) \), так как \( 1_R \cdot 1_R = 1_R \).
• Обратный элемент: для \( a \in U(R) \) существует \( a^{-1} \in U(R) \), так как \( (a^{-1})^{-1} = a \).

Элементарные свойства

• Если \( R \) — поле, то \( U(R) = R \setminus \{0\} \), то есть все ненулевые элементы обратимы.
• В кольце целых чисел \( \mathbb{Z} \) группа единиц состоит из \( \{1, -1\} \), так как обратимы только числа, делящие 1.
• В кольце многочленов \( R[x] \) единицами являются многочлены, обратимые в \( R \), то есть многочлены степени 0, коэффициент которых — единица в \( R \).
• Группа единиц кольца \( R \) является подгруппой мультипликативной полугруппы \( R \), но не обязательно является подкольцом (так как не замкнута относительно сложения).

Примеры групп единиц

Кольцо целых чисел \( \mathbb{Z} \)

• \( U(\mathbb{Z}) = \{\pm 1\} \cong C_2 \) — циклическая группа порядка 2.
• Причина: только \( 1 \) и \( -1 \) имеют обратные в \( \mathbb{Z} \) (сами себя).

Кольцо вычетов \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)

• Группа единиц \( U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \) состоит из классов вычетов, взаимно простых с \( n \). Её порядок равен \( \varphi(n) \) — функция Эйлера.
• Пример: \( U(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}) = \{1, 3, 5, 7\} \cong C_2 \times C_2 \) (четвёртая группа Клейна).
• Для простого \( p \): \( U(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong C_{p-1} \) — циклическая группа.

Кольцо матриц \( M_n(R) \)

• Группа единиц кольца квадратных матриц над кольцом \( R \) — это общая линейная группа \( GL_n(R) \), состоящая из матриц с определителем, являющимся единицей в \( R \).
• Для \( R = \mathbb{R} \): \( GL_n(\mathbb{R}) = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \neq 0 \} \).
• Для \( R = \mathbb{Z} \): \( GL_n(\mathbb{Z}) \) — группа целочисленных матриц с определителем \( \pm 1 \).

Кольцо целых гауссовых чисел \( \mathbb{Z}[i] \)

• \( U(\mathbb{Z}[i]) = \{1, -1, i, -i\} \cong C_4 \) — циклическая группа порядка 4.
• Обратимы только элементы с нормой 1.

Кольцо формальных степенных рядов \( R[[x]] \)

• Единицами являются ряды с обратимым свободным членом: \( U(R[[x]]) = \{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \mid a_0 \in U(R) \} \).

Связь с другими алгебраическими структурами

Группа единиц и кольцо

• Группа единиц является инвариантом кольца: изоморфизм колец индуцирует изоморфизм их групп единиц.
• Если \( R \cong S \) как кольца, то \( U(R) \cong U(S) \) как группы.
• Обратное неверно: существуют неизоморфные кольца с изоморфными группами единиц (например, \( \mathbb{Z} \) и \( \mathbb{Z}[x]/(x^2) \)).

Группа единиц и поле частных

• Если \( R \) — целостное кольцо, то поле частных \( \text{Frac}(R) \) содержит \( R \). Группа единиц \( U(R) \) является подгруппой мультипликативной группы поля \( \text{Frac}(R)^{\times} \).

Функториальность

• Отображение \( R \mapsto U(R) \) является функтором из категории колец с единицей в категорию групп. Гомоморфизм колец \( f: R \to S \) индуцирует гомоморфизм групп \( U(f): U(R) \to U(S) \), так как образ единицы при гомоморфизме — единица, и обратимые элементы переходят в обратимые.

Классификация и структура

Конечные группы единиц

• Группа единиц конечного кольца всегда конечна. Например, для конечного поля \( \mathbb{F}_q \) группа \( U(\mathbb{F}_q) \cong C_{q-1} \) циклическая.
• Для кольца вычетов \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) структура группы единиц известна: если \( n = 2, 4, p^k, 2p^k \) (где \( p \) — нечётное простое), то \( U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \) циклическая; в остальных случаях — произведение циклических групп.

Группа единиц в кольцах целых алгебраических чисел

• Для кольца целых чисел числового поля \( K \) группа единиц \( \mathcal{O}_K^{\times} \) описывается теоремой Дирихле о единицах: она изоморфна \( \mu(K) \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1} \), где \( \mu(K) \) — группа корней из единицы в \( K \), \( r_1 \) — число вещественных вложений, \( r_2 \) — число пар комплексных вложений.
• Пример: для квадратичного поля \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) группа единиц бесконечна: \( \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}^{\times} \cong \{\pm 1\} \times \mathbb{Z} \), порождённая \( 1 + \sqrt{2} \).

Группа единиц в кольцах многочленов

• Для кольца многочленов \( R[x] \) единицами являются только ненулевые константы, являющиеся единицами в \( R \): \( U(R[x]) = U(R) \).
• Для кольца формальных степенных рядов \( R[[x]] \) единицы имеют вид \( a_0 + a_1 x + \dots \) с \( a_0 \in U(R) \).

Применение

В теории чисел

• Группа единиц кольца вычетов используется в криптографии (например, в RSA), где \( U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \) применяется для генерации ключей.
• Теорема Дирихле о единицах важна для изучения диофантовых уравнений.

В алгебраической геометрии

• Группа единиц кольца глобальных сечений схемы связана с группой Пикара и группой обратимых пучков.

В теории представлений

• Группа единиц кольца эндоморфизмов модуля описывает автоморфизмы модуля.

Интересные факты

• Группа единиц кольца \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \) бесконечна, хотя само кольцо является подкольцом поля вещественных чисел.
• В кольце кватернионов с целыми коэффициентами (кольцо Гурвица) группа единиц состоит из 24 элементов (группа бинарного тетраэдра).
• Группа единиц кольца \( \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \) конечна, так как норма любого элемента — целое число, и единицы имеют норму 1, что даёт только \( \pm 1 \).

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Милнор Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. — М.: Мир, 1974.