Интерквартильный размах

Интерквартильный размах (IQR, от англ. interquartile range) — это мера разброса данных в статистике, равная разности между третьим (верхним) и первым (нижним) квартилями. Интерквартильный размах показывает диапазон, в котором сосредоточены 50% центральных значений упорядоченного набора данных, и используется для оценки вариативности, устойчивой к выбросам.

Определение и расчёт

Интерквартильный размах вычисляется по формуле: \[ IQR = Q_3 - Q_1 \] где \( Q_1 \) — первый квартиль (25-й процентиль), а \( Q_3 \) — третий квартиль (75-й процентиль). Для расчёта квартилей данные предварительно сортируются по возрастанию. Существует несколько методов определения квартилей (например, метод Тьюки, метод включения медианы, метод Mendenhall и Sincich), которые могут давать незначительно отличающиеся результаты, особенно при малых объёмах выборки.

Пример ручного расчёта

Рассмотрим набор данных: 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 18.

1. Сортируем данные (уже отсортированы).
2. Находим медиану (второй квартиль, \( Q_2 \)): среднее значение 5-го элемента (9) — \( Q_2 = 9 \).
3. Первый квартиль \( Q_1 \) — медиана нижней половины (3, 5, 7, 8): среднее между 2-м и 3-м элементами = (5+7)/2 = 6.
4. Третий квартиль \( Q_3 \) — медиана верхней половины (11, 13, 15, 18): среднее между 2-м и 3-м элементами = (13+15)/2 = 14.
5. IQR = 14 - 6 = 8.

Свойства и интерпретация

Интерквартильный размах является робастной (устойчивой) мерой разброса, в отличие от дисперсии или стандартного отклонения, которые чувствительны к выбросам. Поскольку IQR опирается на квартили, он не зависит от экстремальных значений, выходящих за пределы центральных 50% данных. Это делает его предпочтительным при анализе распределений с асимметрией или наличием аномальных наблюдений.

Значение IQR интерпретируется как ширина «ящика» в ящичной диаграмме (box plot). Чем больше IQR, тем выше вариативность центральной части данных. Например, если IQR для доходов населения составляет 30 000 рублей, это означает, что разница между доходами 25% самых бедных и 25% самых богатых (из центральной половины) равна 30 000 рублей.

Применение

Выявление выбросов

Интерквартильный размах широко используется для обнаружения выбросов. Согласно правилу Тьюки, выбросами считаются значения, которые:

• меньше \( Q_1 - 1.5 \times IQR \);
• больше \( Q_3 + 1.5 \times IQR \).

Для «крайних выбросов» (extreme outliers) применяется множитель 3.0. Этот метод лежит в основе построения ящичных диаграмм, где «усы» (whiskers) отображают границы, равные \( Q_1 - 1.5 \times IQR \) и \( Q_3 + 1.5 \times IQR \), а точки за их пределами маркируются как выбросы.

Сравнение распределений

IQR позволяет сравнивать разброс разных групп данных, не завися от их масштаба. Например, в медицине при анализе результатов лабораторных тестов IQR может показать, насколько однородна группа пациентов по определённому показателю. В экономике IQR используется для оценки неравенства доходов (в сочетании с медианным доходом).

Описательная статистика

Вместе с медианой IQR образует устойчивый набор описательных статистик для несимметричных распределений. В отличие от среднего арифметического и стандартного отклонения, медиана и IQR не искажаются выбросами, что делает их стандартными в таких областях, как биостатистика, социология и анализ данных с пропусками.

Связь с другими статистическими показателями

• Дисперсия и стандартное отклонение: измеряют разброс относительно среднего, чувствительны к выбросам. IQR — альтернатива для робастного анализа.
• Размах (range): разность между максимальным и минимальным значениями. Зависит от выбросов, в отличие от IQR.
• Среднее абсолютное отклонение (MAD): ещё одна робастная мера, но IQR проще интерпретируется и чаще используется в графическом анализе.
• Коэффициент вариации: отношение стандартного отклонения к среднему. Для IQR аналогом является квартильный коэффициент вариации (QCV) = IQR / медиана, который применяется для сравнения вариативности данных с разными медианами.

Ограничения

Интерквартильный размах не учитывает форму распределения за пределами первого и третьего квартилей. Он не даёт информации о хвостах распределения или о наличии мультимодальности. Кроме того, при малых объёмах выборки (менее 10–12 наблюдений) расчёт квартилей становится менее надёжным, и IQR может быть нестабильным. В таких случаях рекомендуется использовать другие методы, например, бутстреп-оценки.

История

Понятие квартилей и интерквартильного размаха было введено американским статистиком Джоном Тьюки (John Tukey) в 1970-х годах в рамках развития методов разведочного анализа данных (exploratory data analysis). Тьюки предложил ящичную диаграмму (box plot) как наглядный способ визуализации IQR, медианы и выбросов. С тех пор IQR стал стандартным инструментом в статистике, анализе данных и машинном обучении.

Источники

1. Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley.
2. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2014). Introduction to the Practice of Statistics (8th ed.). W. H. Freeman.
3. ГОСТ Р ИСО 16269-4-2017 «Статистические методы. Статистическое представление данных. Часть 4. Выявление и обработка выбросов».
4. Вуколов, Э. А. (2011). Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций. М.: Форум.