Открыть сервис
Главная → Блог → Разность в математике

Разность в математике

Разность — это результат операции вычитания одного числа (вычитаемого) из другого (уменьшаемого). Наряду с суммой, произведением и частным разность относится к четырём основным арифметическим результатам. В выражении \(a - b = c\) число \(a\) называется уменьшаемым, \(b\) — вычитаемым, а \(c\) — разностью. Операция вычитания является обратной к сложению: разность \(c\) такова, что \(c + b = a\).

Определение и обозначение

В элементарной арифметике разность определяется для чисел как результат уменьшения одного числа на величину другого. Знак вычитания «−» (минус) впервые вошёл в употребление в европейской математике в конце XV — начале XVI века. В русской учебной традиции термин «разность» закрепился в XVIII веке вместе с переводной математической литературой.

Разность может быть:

  • положительной, если уменьшаемое больше вычитаемого (\(5 - 3 = 2\));
  • нулевой, если числа равны (\(7 - 7 = 0\));
  • отрицательной, если уменьшаемое меньше вычитаемого (\(3 - 5 = -2\)).

Свойства

Вычитание, в отличие от сложения и умножения, не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Основные свойства разности:

  • \(a - b \neq b - a\) (некоммутативность);
  • \((a - b) - c \neq a - (b - c)\) (неассоциативность);
  • \(a - 0 = a\);
  • \(a - a = 0\);
  • \(a - b = a + (-b)\), то есть вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.

Последнее свойство лежит в основе формального определения вычитания в алгебре: разность \(a - b\) есть сумма \(a\) и элемента, противоположного \(b\).

В различных числовых системах

В множестве натуральных чисел разность определена не всегда: выражение \(a - b\) имеет смысл только при \(a \geq b\). Расширение понятия до целых чисел делает вычитание всюду выполнимым. В рациональных, действительных и комплексных числах разность определена для любой пары элементов.

В векторной алгебре разностью двух векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) называют вектор, который в сумме с \(\vec{b}\) даёт \(\vec{a}\). Геометрически он изображается направленным отрезком, соединяющим концы векторов.

Для множеств аналогом разности служит разность множеств \(A \setminus B\) — совокупность элементов, принадлежащих \(A\), но не принадлежащих \(B\).

Разность в алгебре и анализе

В алгебре разность используется при определении многих конструкций. Например, разность квадратов раскладывается по формуле \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), широко применяемой для упрощения выражений и решения уравнений.

В математическом анализе понятие разности обобщается:

  • приращение функции \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)\) — разность значений функции;
  • разностное отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) служит основой для определения производной как предела;
  • конечные разности применяются в численных методах, интерполяции и теории разностных уравнений.

Применение

Разность — одна из базовых операций, используемых повсеместно:

  • в арифметике и школьном обучении — для освоения счёта;
  • в бухгалтерии и экономике — для расчёта прибыли, убытка, сальдо, отклонений;
  • в физике — для вычисления изменения величин (разность потенциалов, разность температур, разность давлений);
  • в программировании — как операция вычитания в языках и как разность множеств в структурах данных;
  • в статистике — для определения абсолютного прироста показателей.

Разность потенциалов, или напряжение, — ключевая величина в электротехнике, определяющая ток в цепи.

Смежные понятия

Термин «разность» употребляется и в переносном, обобщённом смысле — как результат сравнения двух объектов. В математике различают абсолютную разность (модуль разности \(|a - b|\)) и относительную (отношение разности к одной из величин, часто в процентах). Симметричная разность множеств \(A \triangle B\) объединяет элементы, принадлежащие ровно одному из множеств.

Источники

Похожие материалы