Инвариантность в науке и технике¶

Инвариантность — свойство объекта, величины или математического выражения сохранять неизменность (быть инвариантом) при определённых преобразованиях, изменениях условий или системы отсчёта. Понятие является фундаментальным для математики, физики, информатики и ряда прикладных дисциплин: именно через поиск того, что остаётся неизменным, устанавливаются законы природы и строятся корректные модели. Термин происходит от латинского invarians — «неизменяющийся».

¶Общее определение

Инвариантность означает, что некоторая характеристика системы не зависит от выбранного способа описания, системы координат, момента времени или иного преобразования. Величина, сохраняющая значение при таком преобразовании, называется инвариантом. Например, расстояние между двумя точками на плоскости не меняется при повороте системы координат — это геометрический инвариант.

Понятие тесно связано с симметрией: если объект симметричен относительно некоторого преобразования, то он инвариантен относительно него. Обратное также верно — наличие инварианта указывает на скрытую симметрию.

¶В математике

В математике инвариантность изучается в рамках теории групп, геометрии и топологии.

• Геометрия. Длины, углы, площади сохраняются при движениях (изометриях) — это инварианты евклидовой геометрии. При проективных преобразованиях инвариантом служит, например, двойное отношение четырёх точек прямой.
• Теория групп. Группа преобразований действует на множестве; элементы, остающиеся неподвижными, образуют инвариантное подмножество. Инвариантные подгруппы (нормальные делители) лежат в основе классификации групп.
• Топология. Топологические инварианты (число компонент связности, эйлерова характеристика, фундаментальная группа) не меняются при непрерывных деформациях — гомеоморфизмах.
• Алгебра. Дискриминант многочлена, ранг матрицы, определитель — примеры величин, инвариантных относительно допустимых преобразований.

¶В физике

Физика строится на принципе, согласно которому законы природы не должны зависеть от выбора системы отсчёта наблюдателя. Это выражается в принципах инвариантности.

• Относительность Галилея. Механика Ньютона инвариантна относительно преобразований Галилея: время абсолютно, а законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
• Специальная теория относительности. Законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца; инвариантом является интервал между событиями в пространстве-времени, а также скорость света в вакууме.
• Законы сохранения. По теореме Нётер каждой непрерывной симметрии соответствует сохраняющаяся величина: инвариантность относительно сдвига во времени даёт закон сохранения энергии, относительно сдвига в пространстве — закон сохранения импульса, относительно поворотов — момент импульса.
• Калибровочная инвариантность. В электродинамике и квантовой теории поля физические величины не зависят от выбора калибровки потенциалов.

¶В информатике и программировании

В программировании инвариант — это утверждение о состоянии данных, которое остаётся истинным на протяжении выполнения программы или её фрагмента.

• Инвариант цикла — условие, истинное перед началом и после каждой итерации цикла; используется для доказательства корректности алгоритмов.
• Инвариант класса — свойство объекта, поддерживаемое всеми его методами (например, баланс счёта не может стать отрицательным при определённых правилах).
• Инвариантность типов — свойство систем типов, при котором тип сохраняет совместимость при преобразованиях (ковариантность, контравариантность, инвариантность массивов и обобщённых типов).

¶В других областях

Понятие инвариантности применяется и за пределами точных наук.

¶Значение

Поиск инвариантов — один из основных методов научного познания. Если при изменении условий опыта некоторая величина остаётся постоянной, это указывает на фундаментальный закон или скрытую симметрию системы. Инвариантный подход позволяет отделять существенные свойства объекта от случайных, зависящих от способа описания, и лежит в основе теории относительности, квантовой механики, теории групп и современной информатики.

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика».
• Вейль Г. «Симметрия».
• Фейнман Р. «Фейнмановские лекции по физике».
• Кнут Д. «Искусство программирования».
• Математическая энциклопедия.