Выражения в математике и языках¶
Выражение — это форма записи или построения, в которой некоторым образом соединены элементы (числа, переменные, слова, символы) по определённым правилам, а результат такого соединения поддаётся вычислению, преобразованию или истолкованию. Понятие встречается в нескольких областях: в математике, в программировании, в лингвистике и в логике, и в каждой из них оно имеет собственное строгое определение.
¶Математическое выражение
В математике выражение — это конечная последовательность символов, составленная из чисел, переменных, знаков операций и скобок в соответствии с правилами синтаксиса. В отличие от уравнения или неравенства, выражение не содержит знака отношения (=, <, >) и само по себе не является утверждением, которое может быть истинным или ложным.
¶Классификация
| Тип | Пример | Особенность |
|---|---|---|
| Числовое | 7 · 3 − 5 | содержит только числа и операции |
| Буквенное (с переменными) | 2x + 3y | значение зависит от значений переменных |
| Рациональное | (a + b) / c | строится из чисел и переменных операциями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень |
| Иррациональное | √x + 1 | содержит извлечение корня из переменной |
| Целое | x² − 4x + 1 | не содержит деления на переменную |
| Дробное | 1 / (x − 2) | содержит переменную в знаменателе |
Выражения разделяют также по числу членов (одночлен, многочлен) и по действиям, которые над ними допустимы.
¶Тождественные преобразования
Два выражения называют тождественно равными, если при любых допустимых значениях входящих в них переменных их значения совпадают. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием. К основным приёмам относятся приведение подобных членов, раскрытие скобок, разложение на множители, приведение дробей к общему знаменателю. Эти операции лежат в основе решения уравнений и упрощения формул.
¶Область допустимых значений
Для буквенного выражения важна область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Например, для выражения 1 / (x − 2) значение x = 2 недопустимо, поскольку приводит к делению на ноль. Учёт ОДЗ обязателен при решении уравнений, так как преобразования могут расширять или сужать область определения и порождать посторонние корни.
¶Выражения в программировании
В языках программирования выражение — конструкция, которая вычисляется и возвращает значение. Оно состоит из операндов (констант, переменных, вызовов функций) и операторов (арифметических, логических, сравнения, присваивания). Выражения являются основой операторов и управляющих конструкций.
Различают:
- арифметические — вычисляют числа;
- логические — возвращают истину или ложь;
- строковые — результат представляет собой текст;
- условные (тернарные) — выбирают значение по условию.
Порядок вычисления определяется приоритетом операторов и скобками. В большинстве языков применяется инфиксная запись, однако существуют префиксная (например, в Lisp) и постфиксная (обратная польская запись, применявшаяся в калькуляторах и стековых машинах) формы. Отдельно выделяют лямбда-выражения — безымянные функции, записываемые прямо в месте использования.
¶Выражения в языке и лингвистике
В языкознании выражение — это отрезок речи или устойчивое сочетание слов, обладающее собственным значением. Сюда относят:
- фразеологизмы — устойчивые обороты с переносным смыслом («бить баклуши», «спустя рукава»);
- крылатые выражения — цитаты и афоризмы, вошедшие в речь;
- идиоматические выражения — сочетания, смысл которых не выводится из значений отдельных слов.
Устойчивые выражения изучаются фразеологией. Их свойства — воспроизводимость (используются в готовом виде), целостность значения и, как правило, неизменяемость структуры. В русском языке значительная часть таких оборотов восходит к фольклору, Библии, античной литературе и произведениям классиков.
¶Логические и формальные выражения
В математической логике выражение (формула) строится из атомарных высказываний с помощью логических связок — конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации. Такие выражения принимают значение «истина» или «ложь» в зависимости от значений входящих переменных. Формула, истинная при любых значениях переменных, называется тождественно истинной (тавтологией). Аппарат логических выражений применяется в теории алгоритмов, при проектировании цифровых схем и в базах данных (условия отбора записей).
¶Значение понятия
Понятие выражения объединяет разные дисциплины общим признаком: это конструкция, построенная по правилам из более простых элементов и допускающая вычисление, преобразование или истолкование. Строгость правил построения (синтаксис) и правил истолкования (семантика) — общее требование как для математических формул, так и для программного кода и естественно-языковых оборотов. Именно поэтому теория выражений занимает центральное место в алгебре, логике, теории языков программирования и лингвистике.
Источники: учебники по алгебре для средней школы; справочники по математической логике; руководства по языкам программирования; словари русского языка и пособия по фразеологии.