Теория групп¶

Теория групп — это раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа представляет собой непустое множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности, существования нейтрального элемента и существования обратного элемента для каждого элемента множества. Теория групп является фундаментальной областью математики, находящей применение в физике, химии, кристаллографии, криптографии и других науках.

¶История

Зарождение теории групп связано с работами математиков XVIII—XIX веков. Первоначально понятие группы возникло в контексте теории перестановок и решения алгебраических уравнений в радикалах.

¶Предпосылки и ранние работы

В 1770 году Жозеф Луи Лагранж в своих исследованиях по теории уравнений ввёл понятие подстановки и доказал теорему, известную ныне как теорема Лагранжа: порядок подгруппы делит порядок группы. В 1799 году Паоло Руффини опубликовал работу, в которой утверждал, что уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах, используя свойства групп перестановок. Однако его доказательство содержало пробелы.

¶Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа

В 1824 году Нильс Хенрик Абель дал строгое доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах. В 1832 году Эварист Галуа, развивая идеи Абеля, создал теорию, связывающую разрешимость алгебраических уравнений со свойствами групп перестановок их корней. Галуа ввёл понятие нормальной подгруппы, разрешимой группы и установил критерий разрешимости уравнения в радикалах. Работы Галуа, опубликованные посмертно в 1846 году, заложили основы теории групп как самостоятельной дисциплины.

¶Формализация и развитие

Во второй половине XIX века теория групп стала развиваться как абстрактная теория. Артур Кэли в 1854 году дал первое аксиоматическое определение группы (хотя и неполное) и доказал теорему Кэли: каждая группа изоморфна некоторой группе подстановок. В 1870-х годах Камиль Жордан систематизировал теорию групп перестановок в своём трактате «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях». Феликс Клейн в 1872 году в «Эрлангенской программе» предложил классификацию геометрий на основе теории групп преобразований. Софус Ли в конце XIX века разработал теорию непрерывных групп (групп Ли), которые нашли применение в дифференциальных уравнениях и геометрии.

В XX веке теория групп продолжала активно развиваться. Были созданы теория конечных групп, теория представлений групп, гомологическая алгебра. Значительный вклад внесли Уильям Бёрнсайд, Филипп Холл, Джон Томпсон, Жак Титс и другие.

¶Определение и основные понятия

¶Аксиомы группы

Пусть \( G \) — непустое множество, и на нём задана бинарная операция \( \cdot: G \times G \to G \). Пара \( (G, \cdot) \) называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1. Ассоциативность: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) для всех \( a, b, c \in G \).
2. Существование нейтрального элемента: существует элемент \( e \in G \) такой, что \( e \cdot a = a \cdot e = a \) для всех \( a \in G \). Этот элемент называется единицей группы (или нулём для аддитивной записи).
3. Существование обратного элемента: для каждого элемента \( a \in G \) существует элемент \( a^{-1} \in G \) такой, что \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e \).

Если дополнительно операция коммутативна, то есть \( a \cdot b = b \cdot a \) для всех \( a, b \in G \), группа называется абелевой (или коммутативной) в честь Нильса Хенрика Абеля.

¶Примеры групп

• Целые числа по сложению: множество \( \mathbb{Z} \) с операцией сложения \( + \). Нейтральный элемент — 0, обратный элемент — \( -a \). Это абелева группа.
• Ненулевые рациональные числа по умножению: множество \( \mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) с операцией умножения \( \times \). Нейтральный элемент — 1, обратный элемент — \( 1/a \). Это абелева группа.
• Группа подстановок (симметрическая группа): множество всех биекций (перестановок) множества из \( n \) элементов с операцией композиции. Обозначается \( S_n \). При \( n > 2 \) является неабелевой.
• Группа симметрий квадрата: множество всех движений плоскости (поворотов и отражений), переводящих квадрат в себя, с операцией композиции. Это группа диэдра \( D_4 \), неабелева.

¶Подгруппы и смежные классы

Подгруппа — это подмножество группы, которое само является группой относительно той же операции. Например, чётные числа образуют подгруппу в группе целых чисел по сложению.

Если \( H \) — подгруппа группы \( G \), то для элемента \( g \in G \) левым смежным классом называется множество \( gH = \{ g \cdot h \mid h \in H \} \). Правым смежным классом называется множество \( Hg = \{ h \cdot g \mid h \in H \} \). Смежные классы разбивают группу на непересекающиеся подмножества. Число левых (или правых) смежных классов подгруппы \( H \) в группе \( G \) называется индексом подгруппы \( H \) и обозначается \( [G:H] \).

¶Нормальные подгруппы и факторгруппы

Подгруппа \( N \) группы \( G \) называется нормальной, если для всех \( g \in G \) выполняется \( gNg^{-1} = N \), то есть левые и правые смежные классы совпадают. Для нормальной подгруппы можно определить операцию на множестве смежных классов: \( (gN) \cdot (hN) = (g \cdot h)N \). Множество смежных классов с этой операцией образует группу, называемую факторгруппой и обозначаемую \( G/N \).

¶Гомоморфизмы и изоморфизмы

Гомоморфизмом групп называется отображение \( \varphi: G \to H \), сохраняющее операцию: \( \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \) для всех \( a, b \in G \). Если гомоморфизм является биекцией, он называется изоморфизмом. Изоморфные группы имеют одинаковую алгебраическую структуру и считаются неразличимыми в рамках теории групп.

¶Виды групп

¶Конечные группы

Группа называется конечной, если она содержит конечное число элементов. Число элементов группы называется её порядком. Теория конечных групп является одним из наиболее развитых разделов теории групп. Важным результатом является теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок группы.

Классификация конечных простых групп (групп, не имеющих нетривиальных нормальных подгрупп) была завершена в 1980-х годах. Она включает несколько бесконечных семейств (циклические группы простого порядка, знакопеременные группы \( A_n \) при \( n \ge 5 \), группы лиева типа) и 26 спорадических групп, крупнейшая из которых — группа Монстра, имеющая порядок около \( 8 \times 10^{53} \).

¶Бесконечные группы

Группа называется бесконечной, если она содержит бесконечное число элементов. Примерами являются группы целых чисел по сложению, группы Ли (например, группа вращений трёхмерного пространства \( SO(3) \)), группы матриц.

¶Абелевы группы

Абелевы группы, названные в честь Нильса Хенрика Абеля, являются одними из наиболее изученных. Основная теорема о конечных абелевых группах утверждает, что любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению циклических групп. Теория бесконечных абелевых групп является сложной и включает изучение периодических и делимых групп.

¶Группы Ли

Группы Ли — это группы, которые одновременно являются гладкими многообразиями, причём групповая операция и взятие обратного элемента являются гладкими отображениями. Они были введены Софусом Ли в конце XIX века. Группы Ли играют фундаментальную роль в физике, особенно в теории калибровочных полей и теории элементарных частиц. Примерами являются группа вращений \( SO(n) \), унитарная группа \( U(n) \), специальная линейная группа \( SL(n, \mathbb{R}) \).

¶Применение

¶В математике

Теория групп является центральным инструментом во многих областях математики:

• Алгебра: теория Галуа использует группы для изучения разрешимости алгебраических уравнений.
• Геометрия: группы преобразований (например, группы изометрий) используются для классификации геометрий.
• Топология: фундаментальная группа и гомотопические группы являются инвариантами топологических пространств.
• Теория чисел: группы Галуа полей алгебраических чисел и группы классов идеалов играют важную роль.

¶В физике

Теория групп является неотъемлемой частью современной физики:

• Кристаллография: пространственные группы симметрии используются для классификации кристаллических решёток.
• Квантовая механика: группы симметрий (например, группа вращений) используются для классификации атомных спектров и элементарных частиц. Теория представлений групп позволяет выводить законы сохранения.
• Теория элементарных частиц: калибровочные группы (например, \( SU(3) \times SU(2) \times U(1) \) в Стандартной модели) лежат в основе описания фундаментальных взаимодействий.

¶В криптографии

Теория групп используется в криптографии с открытым ключом. Например, криптосистема Эль-Гамаля основана на сложности задачи дискретного логарифмирования в мультипликативной группе конечного поля. Криптография на эллиптических кривых использует группы точек на эллиптических кривых.

¶В химии

Теория групп, особенно теория представлений групп, используется в спектроскопии для предсказания числа и типов колебательных мод молекул. Точечные группы симметрии используются для классификации молекул по их симметрии.

¶Критика и ограничения

Теория групп, как и любая математическая теория, имеет свои ограничения. Она не описывает все возможные алгебраические структуры. Например, полугруппы и моноиды, в которых не обязательно существуют обратные элементы, являются более общими структурами. Кроме того, для некоторых приложений (например, в квантовой механике) используются более общие структуры, такие как алгебры Ли и квантовые группы.

¶Интересные факты

• Крупнейшая спорадическая группа, группа Монстра, была предсказана Берндом Фишером и Робертом Гриссом в 1973 году. Её порядок равен 808017424794512875886459904961710757005754368000000000.
• Проблема классификации конечных простых групп считается одной из крупнейших коллективных задач в истории математики, в решении которой участвовали сотни математиков на протяжении нескольких десятилетий.
• Теория групп является основой для понимания симметрии в природе, от кристаллов до элементарных частиц.

¶Источники

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — М.: Физматлит, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Холл М. Теория групп. — М.: Иностранная литература, 1962.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.