Класс Штифеля — Уитни¶

Класс Штифеля — Уитни — это характеристический класс, определённый для вещественного векторного расслоения над топологическим пространством. Он принимает значения в кольце когомологий с коэффициентами в поле Z/2Z (вычеты по модулю 2). Классы Штифеля — Уитни являются одними из основных инвариантов расслоений, которые позволяют различать неэквивалентные векторные расслоения, а также изучать топологические свойства многообразий, такие как ориентируемость, спинорность и существование невырожденных полей касательных направлений.

¶Определение

Пусть ξ — вещественное векторное расслоение ранга n над базой B. Для каждого целого неотрицательного i ≤ n определён i-й класс Штифеля — Уитни wᵢ(ξ) ∈ Hⁱ(B; Z/2Z). Полный класс Штифеля — Уитни w(ξ) определяется как сумма

w(ξ) = 1 + w₁(ξ) + w₂(ξ) + … + wₙ(ξ),

где 1 — единичный элемент кольца когомологий. Классы wᵢ(ξ) для i > n полагаются равными нулю.

Классы Штифеля — Уитни удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Натуральность: Для любого непрерывного отображения f: B′ → B и индуцированного расслоения f⁺(ξ) выполняется wᵢ(f⁺(ξ)) = f⁺(wᵢ(ξ)), где f⁺ — индуцированное отображение в когомологиях.
2. Формула Уитни: Для двух векторных расслоений ξ и η над одной базой полный класс Штифеля — Уитни их суммы Уитни ξ ⊕ η равен произведению полных классов: w(ξ ⊕ η) = w(ξ) ∪ w(η).
3. Нормализация: Для тавтологического одномерного расслоения γ¹ над проективным пространством RP¹ (окружностью) класс w₁(γ¹) является ненулевым элементом в H¹(RP¹; Z/2Z).
4. Тривиальность: Для тривиального расслоения εⁿ (произведение базы на Rⁿ) все классы wᵢ(εⁿ) = 0 при i > 0.

Эти аксиомы однозначно определяют классы Штифеля — Уитни для всех вещественных векторных расслоений.

¶История

Классы Штифеля — Уитни были введены в 1935 году немецким математиком Эдуардом Штифелем в контексте изучения полей касательных направлений на многообразиях. Штифель рассматривал препятствия к построению линейно независимых сечений касательного расслоения. В 1936 году американский математик Хасслер Уитни независимо разработал общую теорию характеристических классов для вещественных расслоений, используя симплициальные методы. Уитни также доказал формулу произведения для суммы Уитни и установил связь с классами Чженя для комплексных расслоений. В 1940-х годах работы Льва Понтрягина привели к появлению классов Понтрягина, которые являются аналогом классов Штифеля — Уитни для вещественных расслоений, но с целочисленными коэффициентами.

¶Свойства

¶Ориентируемость

Первый класс Штифеля — Уитни w₁(ξ) обращается в нуль тогда и только тогда, когда расслоение ξ ориентируемо. Для касательного расслоения TM гладкого многообразия M класс w₁(TM) ∈ H¹(M; Z/2Z) является препятствием к ориентируемости многообразия. Если w₁(TM) = 0, то многообразие M ориентируемо.

¶Спинорность

Второй класс Штифеля — Уитни w₂(ξ) связан с существованием спинорной структуры на расслоении. Для ориентированного векторного расслоения ξ ранга n спинорная структура существует тогда и только тогда, когда w₂(ξ) = 0. Для ориентированного риманова многообразия M условие w₂(TM) = 0 необходимо для существования спинорной структуры на касательном расслоении, что позволяет определить спинорные поля и оператор Дирака.

¶Степень когомологий

Классы Штифеля — Уитни принимают значения в когомологиях с коэффициентами в Z/2Z, что делает их особенно полезными в задачах, где целочисленные инварианты не дают полной информации. Например, для проективных пространств RPⁿ классы Штифеля — Уитни тавтологического расслоения γ¹ вычисляются явно: w₁(γ¹) ≠ 0, а w(γ¹) = 1 + a, где a — образующая H¹(RPⁿ; Z/2Z). Для касательного расслоения T(RPⁿ) полный класс Штифеля — Уитни равен (1 + a)ⁿ⁺¹.

¶Формула Уитни

Формула Уитни для суммы Уитни расслоений позволяет вычислять классы Штифеля — Уитни сложных расслоений через классы их компонент. Например, для суммы Уитни двух листовых расслоений ξ и η (ранга 1) имеем w₁(ξ ⊕ η) = w₁(ξ) + w₁(η). Для расслоений большего ранга формула даёт когомологическую сумму, включающую произведения классов.

¶Применение

¶Топология многообразий

Классы Штифеля — Уитни являются важными инвариантами гладких многообразий. Они позволяют определить, является ли многообразие параллелизуемым (то есть имеет тривиальное касательное расслоение). Для параллелизуемого многообразия все классы Штифеля — Уитни касательного расслоения равны нулю. Например, сфера Sⁿ параллелизуема только для n = 1, 3, 7, что было доказано с использованием классов Штифеля — Уитни и теории К-теории.

¶Теория препятствий

Классы Штифеля — Уитни возникают как препятствия к построению линейно независимых сечений векторного расслоения. Если расслоение ξ ранга n имеет k линейно независимых сечений, то классы wᵢ(ξ) = 0 для i > n — k. В частности, существование одного ненулевого сечения (то есть невырожденного векторного поля) на многообразии M эквивалентно обращению в нуль класса wₙ(TM), где n = dim M.

¶Кобордизмы

Классы Штифеля — Уитни используются в теории кобордизмов для классификации гладких многообразий. Многообразия с одинаковыми классами Штифеля — Уитни могут быть неэквивалентными, но эти классы дают необходимые условия для существования кобордизма. В частности, число Штифеля — Уитни многообразия (значение произведения классов Штифеля — Уитни на фундаментальный класс) является инвариантом неориентированного кобордизма.

¶Теория узлов

В теории узлов классы Штифеля — Уитни используются для изучения расслоений над узлами и зацеплениями. Например, для узла в R³ можно определить его нормальное расслоение, и классы Штифеля — Уитни этого расслоения дают информацию о типе узла.

¶Примеры

¶Тавтологическое расслоение над проективным пространством

Для вещественного проективного пространства RPⁿ тавтологическое расслоение γ¹ имеет ранг 1. Его первый класс Штифеля — Уитни w₁(γ¹) является образующей группы H¹(RPⁿ; Z/2Z). Полный класс равен w(γ¹) = 1 + a, где a — образующая.

¶Касательное расслоение сферы

Касательное расслоение TSⁿ сферы Sⁿ является стабильно тривиальным: TSⁿ ⊕ ε¹ = εⁿ⁺¹. Поэтому полный класс Штифеля — Уитни w(TSⁿ) = 1. Это означает, что все классы Штифеля — Уитни сферы равны нулю, что согласуется с тем, что сферы параллелизуемы только для n = 1, 3, 7.

¶Проективная плоскость

Вещественная проективная плоскость RP² является неориентируемым двумерным многообразием. Её касательное расслоение имеет первый класс Штифеля — Уитни w₁(T(RP²)) ≠ 0, что отражает неориентируемость. Второй класс w₂(T(RP²)) = 0, так как ранг расслоения равен 2.

¶Связь с другими характеристическими классами

¶Классы Чженя

Для комплексного векторного расслоения ξ класса Чженя cᵢ(ξ) лежат в когомологиях с целыми коэффициентами. При редукции по модулю 2 классы Чженя переходят в классы Штифеля — Уитни соответствующего вещественного расслоения: w₂ᵢ(ξℝ) ≡ cᵢ(ξ) mod 2, а нечётные классы w₂ᵢ₊₁(ξℝ) = 0.

¶Классы Понтрягина

Классы Понтрягина pᵢ(ξ) определены для вещественных расслоений и принимают значения в целочисленных когомологиях. Они связаны с классами Штифеля — Уитни через редукцию по модулю 2: pᵢ(ξ) mod 2 = w₂ᵢ(ξ)². Однако классы Понтрягина несут больше информации, так как они являются целочисленными.

¶Критика и ограничения

Классы Штифеля — Уитни не являются полными инвариантами для векторных расслоений. Существуют неэквивалентные расслоения с одинаковыми классами Штифеля — Уитни. Например, для расслоений ранга 2 над сферой S⁴ классы Штифеля — Уитни не различают все возможные типы, и для полной классификации требуются более тонкие инварианты, такие как классы Понтрягина или вторичные характеристические классы. Кроме того, классы Штифеля — Уитни определены только для вещественных расслоений, и для комплексных расслоений необходимо использовать классы Чженя.

¶Источники

• Милнор Дж., Сташефф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
• Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.
• Steenrod N. The Topology of Fibre Bundles. — Princeton University Press, 1951.
• Hatcher A. Vector Bundles and K-Theory. — Cornell University, 2009.