Фундаментальный класс

Фундаментальный класс — в математике, в частности в алгебраической топологии, фундаментальный класс замкнутого ориентируемого многообразия — это элемент группы гомологий максимальной размерности, который является «каноническим» генератором этой группы. Фундаментальный класс кодирует информацию об ориентации и топологической структуре многообразия и является центральным понятием для теории гомологий, двойственности Пуанкаре и теории характеристических классов.

Определение

Пусть \( M \) — замкнутое (компактное без края) ориентируемое топологическое многообразие размерности \( n \). Группа гомологий \( H_n(M; \mathbb{Z}) \) с целыми коэффициентами изоморфна \( \mathbb{Z} \). Фундаментальным классом \( [M] \) называется образующая этой группы, то есть элемент, порождающий всю группу. Выбор знака (ориентации) определяет, какой из двух возможных генераторов считается фундаментальным классом. Для неориентируемого многообразия гомологии \( H_n(M; \mathbb{Z}) \) равны нулю, поэтому фундаментальный класс определяется в гомологиях с коэффициентами в \( \mathbb{Z}_2 \) (или в другой системе коэффициентов, учитывающей ориентацию).

Формально, фундаментальный класс можно определить как класс гомологий, представляющий собой сумму симплексов триангуляции многообразия, взятых с согласованными ориентациями. В более общем контексте, для многообразий с краем фундаментальный класс определяется в относительных гомологиях \( H_n(M, \partial M; \mathbb{Z}) \).

Свойства

Двойственность Пуанкаре

Фундаментальный класс является ключевым элементом в формулировке двойственности Пуанкаре. Для замкнутого ориентируемого многообразия \( M \) размерности \( n \) изоморфизм двойственности Пуанкаре задаётся как отображение:

\[ PD: H^k(M; \mathbb{Z}) \to H_{n-k}(M; \mathbb{Z}), \quad PD(\alpha) = [M] \cap \alpha, \]

где \( \cap \) обозначает кап-произведение. Этот изоморфизм показывает, что когомологии многообразия изоморфны его гомологиям с пониженной степенью.

Степень отображения

Для непрерывного отображения \( f: M \to N \) между замкнутыми ориентируемыми многообразиями одинаковой размерности степень отображения определяется как целое число \( \deg f \), такое что:

\[ f_*([M]) = \deg f \cdot [N], \]

где \( f_* \) — индуцированный гомоморфизм в гомологиях. Степень отображения является важным топологическим инвариантом.

Эйлерова характеристика

Фундаментальный класс связан с эйлеровой характеристикой через теорему Хопфа. Для векторного поля на многообразии сумма индексов особых точек равна эйлеровой характеристике, что можно выразить через фундаментальный класс и класс Эйлера.

Примеры

Окружность

Окружность \( S^1 \) — одномерное замкнутое ориентируемое многообразие. Группа \( H_1(S^1; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \). Фундаментальный класс \( [S^1] \) соответствует циклу, обходящему окружность один раз в положительном направлении.

Сфера

Сфера \( S^n \) — \( n \)-мерное замкнутое ориентируемое многообразие. Группа \( H_n(S^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \). Фундаментальный класс \( [S^n] \) задаётся, например, триангуляцией сферы, где все симплексы ориентированы согласованно.

Тор

Тор \( T^2 = S^1 \times S^1 \) — двумерное замкнутое ориентируемое многообразие. Группа \( H_2(T^2; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \). Фундаментальный класс \( [T^2] \) соответствует всей поверхности тора, ориентированной стандартным образом.

Применения

Теория характеристических классов

Фундаментальный класс используется для определения чисел Понтрягина, чисел Эйлера и других инвариантов. Например, число Эйлера многообразия \( M \) равно значению класса Эйлера на фундаментальном классе: \( \chi(M) = \langle e(M), [M] \rangle \).

Теория бордизмов

В теории бордизмов фундаментальный класс позволяет определить, является ли многообразие границей другого многообразия. Замкнутое многообразие \( M \) является нуль-бордантным, если существует компактное многообразие \( W \) с краем \( \partial W = M \), такое что фундаментальный класс \( [M] \) является образом фундаментального класса \( [W] \) при отображении границы.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии фундаментальный класс комплексного проективного многообразия определяется в гомологиях с целыми коэффициентами и используется для формулировки двойственности Пуанкаре для алгебраических циклов. Классы когомологий алгебраических циклов являются образами фундаментальных классов под действием отображения Гизина.

Обобщения

Фундаментальный класс в гомологиях с локальными коэффициентами

Для неориентируемых многообразий фундаментальный класс определяется в гомологиях с коэффициентами в системе ориентации (локальной системе коэффициентов, соответствующей знаковому представлению фундаментальной группы). В этом случае группа \( H_n(M; \mathbb{Z}^w) \cong \mathbb{Z} \), где \( \mathbb{Z}^w \) — система коэффициентов, скрученная по ориентации.

Фундаментальный класс для многообразий с краем

Для компактного ориентируемого многообразия \( M \) с краем \( \partial M \) фундаментальный класс определяется в относительных гомологиях \( H_n(M, \partial M; \mathbb{Z}) \). Он является образом фундаментального класса \( [M] \) при отображении в абсолютные гомологии, но при этом его граница равна нулю в относительном смысле.

Фундаментальный класс в теории гомотопий

В теории гомотопий фундаментальный класс может быть интерпретирован как образующая группы \( \pi_n(M) \) в случае, если многообразие является \( n \)-сферой. Однако для произвольных многообразий гомотопические группы могут быть сложнее, и фундаментальный класс не всегда соответствует гомотопическому классу.

История

Понятие фундаментального класса восходит к работам Анри Пуанкаре по двойственности в начале XX века. Пуанкаре ввёл понятие «фундаментального цикла» для замкнутых многообразий, который позже был формализован в рамках теории гомологий. Развитие теории гомологий в 1930-х годах (работы Л. Э. Брауэра, С. Лефшеца, Х. Хопфа) привело к современному определению фундаментального класса как образующей группы гомологий максимальной размерности.

Источники

1. Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011.
2. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976.
3. Милнор Дж., Сташефф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
4. Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006.
5. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.