Коэффициент формы сечения

Коэффициент формы сечения — это безразмерная геометрическая характеристика поперечного сечения элемента конструкции, определяющая соотношение его пластического и упругого моментов сопротивления. Он используется в строительной механике и сопротивлении материалов для оценки несущей способности стальных и железобетонных элементов при работе за пределами упругости, в частности при расчётах по предельным состояниям второй группы (пластическое деформирование).

Определение и физический смысл

Коэффициент формы сечения \( k \) (или \( c \)) численно равен отношению пластического момента сопротивления \( W_{pl} \) к упругому моменту сопротивления \( W_{el} \):

\[ k = \frac{W_{pl}}{W_{el}} \]

Физический смысл коэффициента заключается в том, что он показывает, во сколько раз максимальный изгибающий момент, который может воспринять сечение при полном развитии пластических деформаций (образование пластического шарнира), превышает момент, при котором в крайних волокнах сечения достигается предел текучести (начало текучести). Для идеально упругопластического материала (например, малоуглеродистой стали) коэффициент формы позволяет перейти от упругого расчёта к пластическому, учитывая резервы несущей способности, связанные с перераспределением напряжений.

История и развитие понятия

Понятие коэффициента формы сечения возникло в середине XX века в связи с развитием теории пластичности и внедрением методов расчёта конструкций по предельным состояниям. Первоначально в строительных нормах (например, в СССР — СНиП II-23-81 «Стальные конструкции») использовался упругий расчёт, при котором напряжения в сечении не должны превышать предела текучести. Однако экспериментальные исследования показали, что стальные балки и колонны могут нести значительно большую нагрузку до разрушения за счёт пластического деформирования. Введение коэффициента формы позволило формализовать этот резерв и использовать его в нормативных документах, таких как СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (актуализированная редакция СНиП II-23-81*). В современной российской практике коэффициент формы применяется при расчёте изгибаемых и внецентренно сжатых элементов, работающих в пластической стадии.

Расчёт для различных типов сечений

Значение коэффициента формы зависит исключительно от геометрии поперечного сечения и не зависит от материала. Для симметричных сечений он всегда больше 1, для несимметричных может быть как больше, так и меньше 1 (в зависимости от направления изгиба). Ниже приведены значения для наиболее распространённых в строительстве профилей.

Двутавровое сечение

Для стандартного двутавра (например, по ГОСТ 26020-83) коэффициент формы составляет:

• при изгибе в плоскости стенки (относительно оси \( x-x \)): \( k \approx 1,12 \ldots 1,15 \);
• при изгибе в плоскости полок (относительно оси \( y-y \)): \( k \approx 1,47 \ldots 1,50 \).

Различие объясняется тем, что при изгибе относительно оси \( y-y \) пластические деформации развиваются в основном в полках, имеющих большую площадь, что даёт больший прирост момента.

Прямоугольное сечение

Для прямоугольного сечения шириной \( b \) и высотой \( h \):

• упругий момент сопротивления: \( W_{el} = \frac{b h^2}{6} \);
• пластический момент сопротивления: \( W_{pl} = \frac{b h^2}{4} \);
• коэффициент формы: \( k = \frac{1}{4} / \frac{1}{6} = 1,5 \).

Круглое сечение

Для сплошного круга диаметром \( d \):

• \( W_{el} = \frac{\pi d^3}{32} \approx 0,0982 d^3 \);
• \( W_{pl} = \frac{d^3}{6} \approx 0,1667 d^3 \);
• коэффициент формы: \( k \approx 1,7 \).

Кольцевое (трубчатое) сечение

Для тонкостенного кольца (трубы) с наружным диаметром \( D \) и внутренним \( d \):

• \( k \approx 1,27 \ldots 1,30 \) (зависит от отношения \( d/D \)). При увеличении толщины стенки коэффициент стремится к значению для сплошного круга (1,7).

Треугольное и тавровое сечения

Для треугольного сечения (основанием вниз) \( k \approx 2,34 \). Для таврового сечения коэффициент варьируется в широких пределах (от 1,2 до 2,0 и более) в зависимости от соотношения размеров полки и стенки, а также направления изгиба.

Применение в расчётах

В российских строительных нормах (СП 16.13330.2017) коэффициент формы сечения используется при расчёте прочности изгибаемых и внецентренно сжатых элементов с учётом развития пластических деформаций. Расчёт выполняется по формуле:

\[ M \le R_y \cdot W_{pl} \cdot \gamma_c \]

где \( M \) — изгибающий момент, \( R_y \) — расчётное сопротивление стали по пределу текучести, \( \gamma_c \) — коэффициент условий работы. При этом \( W_{pl} = k \cdot W_{el} \).

Коэффициент формы также применяется:

• при расчёте устойчивости плоской формы изгиба (для учёта пластического шарнира);
• в расчётах на прочность при действии поперечной силы (совместное действие изгиба и сдвига);
• при проектировании сейсмостойких конструкций, где допускается образование пластических шарниров.

Ограничения и особенности

• Коэффициент формы справедлив только для материалов, обладающих площадкой текучести (например, малоуглеродистая сталь). Для хрупких материалов (чугун, бетон) или материалов без выраженной площадки текучести (высокопрочные стали, алюминиевые сплавы) его применение ограничено.
• При расчёте по пластическому моменту необходимо учитывать возможное снижение несущей способности из-за потери устойчивости стенки или полки (местная устойчивость). В нормах это регулируется ограничениями на гибкость элементов сечения.
• Для несимметричных сечений (например, тавр, уголок) коэффициент формы различен для разных направлений изгиба, что требует отдельного расчёта.

Примеры значений для стандартных профилей

Влияние на экономику проектирования

Использование коэффициента формы позволяет уменьшить расход стали на 10–20% по сравнению с упругим расчётом, так как позволяет более полно использовать несущую способность материала. Однако это требует более тщательного контроля деформаций и устойчивости, так как пластические деформации приводят к увеличению прогибов. В российской практике для большинства балочных конструкций (балки перекрытий, подкрановые балки) применяется упругий расчёт, а пластический — только для статически определимых систем или при наличии специальных обоснований.

Источники

1. СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*». — М.: Минстрой России, 2017.
2. Беленя Е.И., Балдин В.А. и др. Металлические конструкции. Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986.
3. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. — М.: Высшая школа, 1986.
4. ГОСТ 26020-83 «Двутавры стальные горячекатаные с параллельными гранями полок. Сортамент».