Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе¶

Косинус — это одна из основных тригонометрических функций, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В более общем виде косинус угла — это отношение проекции вектора на ось к длине самого вектора. Функция широко применяется в математике, физике, инженерии и вычислительной технике.

¶Косинус в прямоугольном треугольнике

Для острого угла α прямоугольного треугольника косинус определяется по формуле:

cos α = прилежащий катет / гипотенуза

Значение косинуса любого острого угла лежит в интервале от 0 до 1. При угле 0° косинус равен 1 (катет совпадает с гипотенузой), при угле 90° — 0 (прилежащий катет вырождается в точку). Эта формула является основой для вычисления неизвестных сторон и углов треугольника и применяется в теореме косинусов, которая обобщает теорему Пифагора на произвольные треугольники:

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

где γ — угол между сторонами a и b, а c — сторона, противолежащая этому углу.

¶Косинус на единичной окружности

Более общее определение косинуса связано с единичной окружностью — окружностью радиуса 1 с центром в начале координат. Для любого угла α, отсчитанного от положительного направления оси X против часовой стрелки, косинус равен X-координате точки пересечения луча с окружностью:

cos α = x

Такое определение позволяет распространить косинус на все углы — отрицательные и превышающие 360° (2π радиан). Значения косинуса при этом меняются в диапазоне от −1 до 1. Косинус чётная функция: cos(−α) = cos α, что геометрически означает симметрию относительно оси X.

¶Основные свойства и формулы

Косинус обладает рядом важных свойств:

• Периодичность: cos(α + 2π) = cos α
• Чётность: cos(−α) = cos α
• Ограничение: −1 ≤ cos α ≤ 1
• Формула двойного угла: cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
• Формула суммы: cos(α + β) = cos α·cos β − sin α·sin β
• Формула разности: cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β
• Связь с синусом: sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество)

Из формулы двойного угла выводится так называемая формула понижения степени, позволяющая выразить косинус любой целой степени через косинус первой степени.

¶График функции

График функции y = cos x — волнистая кривая (косинусоида), симметричная относительно оси Y. Функция принимает максимум 1 при x = 2πk (k — целое число) и минимум −1 при x = π + 2πk. Нули косинуса расположены в точках x = π/2 + πk. Функция периодична с периодом 2π, монотонно убывает на отрезке [0, π] и монотонно возрастает на отрезке [π, 2π].

¶Косинус как скалярное произведение

В векторной алгебре косинус угла между двумя ненулевыми векторами a и b определяется через их скалярное произведение:

cos α = (a·b) / (|a|·|b|)

Эта формула является одним из способов определения скалярного произведения и применяется для вычисления углов между векторами, прямыми и плоскостями в пространстве. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны (косинус угла равен 0).

¶Приближённое вычисление

На компьютерах косинус вычисляется с помощью рядов Тейлора или ряда Чебышёва, а также с использованием алгоритмов, аналогичных алгоритму CORDIC. Аргумент перед вычислением обычно приводят к диапазону [0, π/2] с использованием чётности и периодичности функции. Стандартные библиотеки программирования (например, math.h в C) предоставляют функцию cos с точностью, соответствующей двойной разрядности чисел с плавающей точкой.

¶Применение

Косинус используется в самых разных областях:

• Физика — при разложении векторов на составляющие, в законах отражения и преломления, в описании колебаний и волн
• Триангуляция и навигация — для определения расстояний и координат по известным углам
• Компьютерная графика — при поворотах и проекциях трёхмерных сцен
• Строительство и архитектура — при расчёте уклонов, стропильных систем и несущих конструкций
• Астрономия — для вычисления положений небесных тел

¶Историческая справка

Понятие косинуса восходит к астрономическим вычислениям древности. В индийской математике VII века косинус назывался «ardha-jya» (половина хорды), затем «jya-ardha» и, в сокращении, «kojya». Арабские переводчики передали это слово как «koejya», откуда произошло европейское «cosinus». Термин ввёл в употребление в XVI веке немецкий математик Валентин Отто, а символ «cos» закрепился позже.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Иродов И. Е. Задачи по общей физике
• Бронштейн И. Н. Справочник по математике
• Гмурман В. Е. Учебник по теории вероятностей и математической статистике