Критерий Друкера — Прагера¶

Критерий Друкера — Прагера (также известный как критерий пластичности Друкера — Прагера) — это математическая модель, описывающая условие перехода материала из упругого состояния в пластическое (текучесть) под действием напряжений. Относится к классу критериев прочности и пластичности, используемых в механике сплошных сред, теории пластичности и геомеханике. Предложен американскими инженерами Дэниелом Друкером и Уильямом Прагером в 1952 году как обобщение критерия Мизеса для материалов, чувствительных к гидростатическому давлению.

¶История

Критерий был разработан в середине XX века в рамках развития теории пластичности для сыпучих и пористых материалов (грунтов, горных пород, бетона, керамики). Классический критерий Мизеса, широко применяемый для металлов, предполагает, что пластическое течение не зависит от среднего (гидростатического) давления. Однако для геоматериалов и полимеров экспериментально установлено, что сопротивление сдвигу возрастает с увеличением сжимающего давления. Друкер и Прагер, работавшие в Иллинойсском университете (США), предложили модификацию, введя в условие текучести линейную зависимость от первого инварианта тензора напряжений.

Первоначально критерий применялся для анализа устойчивости грунтовых оснований и откосов. Впоследствии он вошёл в стандартные пакеты конечно-элементного анализа (ANSYS, ABAQUS, PLAXIS) и стал одной из базовых моделей пластичности в геотехнике.

¶Математическая формулировка

Критерий Друкера — Прагера в пространстве главных напряжений \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) задаётся функцией текучести \(f\):

\[ f(I_1, J_2) = \sqrt{J_2} + \alpha I_1 - k = 0 \]

где:

• \(I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3\) — первый инвариант тензора напряжений (связан с гидростатическим давлением);
• \(J_2 = \frac{1}{6} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]\) — второй инвариант девиатора напряжений (характеризует интенсивность сдвига);
• \(\alpha\) и \(k\) — материальные константы, определяемые экспериментально.

В декартовых координатах (\( \sigma_{ij} \)) выражение имеет вид:

\[ f = \sqrt{\frac{1}{2} s_{ij} s_{ij}} + \alpha \sigma_{ii} - k = 0 \]

где \(s_{ij} = \sigma_{ij} - \frac{1}{3} \sigma_{kk} \delta_{ij}\) — девиатор напряжений.

¶Геометрическая интерпретация

В пространстве главных напряжений поверхность текучести Друкера — Прагера представляет собой круговой конус, ось которого совпадает с гидростатической осью (\(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3\)). Вершина конуса расположена в точке растяжения (при \(\alpha > 0\)). При \(\alpha = 0\) критерий вырождается в цилиндр Мизеса. В девиаторной плоскости (плоскости \(\pi\)) сечение конуса является окружностью, что отличает его от критерия Мора — Кулона, дающего в этой плоскости шестиугольник.

¶Определение констант

Параметры \(\alpha\) и \(k\) могут быть выражены через прочностные характеристики материала — угол внутреннего трения \(\varphi\) и сцепление \(c\) (как в критерии Мора — Кулона). Существуют две основные аппроксимации:

1. По условию пластического течения в сжатии и растяжении (при совпадении с гранями шестиугольника Мора — Кулона):

\[ \alpha = \frac{2 \sin \varphi}{\sqrt{3} (3 - \sin \varphi)}, \quad k = \frac{6 c \cos \varphi}{\sqrt{3} (3 - \sin \varphi)} \]

1. По условию плоской деформации (более точное для многих геотехнических задач):

\[ \alpha = \frac{\tan \varphi}{\sqrt{9 + 12 \tan^2 \varphi}}, \quad k = \frac{3c}{\sqrt{9 + 12 \tan^2 \varphi}} \]

Для металлов и других материалов, нечувствительных к давлению, принимают \(\alpha = 0\), \(k = \sigma_y / \sqrt{3}\), где \(\sigma_y\) — предел текучести при одноосном растяжении.

¶Разновидности и модификации

¶Линейный критерий Друкера — Прагера

Классическая версия (1952) с линейной зависимостью от \(I_1\). Наиболее распространена в инженерных расчётах благодаря простоте и замкнутому виду поверхности текучести.

¶Экспоненциальный и гиперболический критерии

Для материалов, проявляющих нелинейную зависимость прочности от давления (например, некоторых горных пород), предложены модификации с нелинейными членами. Однако они менее распространены из-за сложности идентификации параметров.

¶Критерий Друкера — Прагера с упрочнением/разупрочнением

В современных реализациях (например, в модели «Drucker-Prager Cap») к конусу добавляется «крышка» — дополнительная поверхность, ограничивающая пластическое течение при высоких сжимающих напряжениях (капиллярное упрочнение). Такая модель позволяет описывать объёмное разупрочнение и дилатансию грунтов.

¶Применение

¶Геотехника и механика грунтов

Критерий широко используется для расчёта несущей способности фундаментов, устойчивости откосов, давления грунта на подпорные стены, а также в задачах консолидации и фильтрации. Он позволяет учитывать рост прочности грунта с глубиной (за счёт увеличения сжимающих напряжений).

¶Горное дело

В механике горных пород критерий применяется для оценки устойчивости выработок, расчёта целиков и прогноза зон разрушения вокруг подземных сооружений. Для хрупких пород часто используется в сочетании с критерием растяжения.

¶Машиностроение и материаловедение

Используется для анализа пластического течения полимеров, керамики, бетона и композитов при высоких давлениях. В частности, применяется в моделях обработки металлов давлением (ковка, штамповка) для материалов, проявляющих зависимость текучести от гидростатического давления (например, магний, титан).

¶Сейсмостойкость

В динамических расчётах зданий и сооружений на сейсмические воздействия критерий Друкера — Прагера используется для моделирования поведения грунтового основания и конструкций из бетона.

¶Ограничения и критика

1. Неучёт третьего инварианта. Критерий не различает поведение материала при сжатии и растяжении (симметрия в девиаторной плоскости). Для многих грунтов и горных пород прочность на растяжение значительно ниже, чем на сжатие, что не отражается моделью. В таких случаях предпочтительнее критерий Мора — Кулона или модифицированные модели (например, Lade-Duncan).

1. Линейность. Для материалов с сильно нелинейной зависимостью прочности от давления (например, пористых известняков) линейная аппроксимация может давать значительные погрешности.

1. Отсутствие описания объёмного разупрочнения. В классической версии не учитывается дилатансия (изменение объёма при сдвиге) и последующее разупрочнение, что важно для рыхлых грунтов.

1. Сложность идентификации параметров. Для перехода от параметров Мора — Кулона к константам Друкера — Прагера требуется выбор аппроксимации, что вносит неопределённость.

¶Сравнение с другими критериями

Критерий Друкера — Прагера занимает промежуточное положение между простыми моделями (Мизеса) и более точными, но сложными (Мора — Кулона, Хоэка — Брауна). Его главное преимущество — гладкая поверхность текучести (без угловых точек), что упрощает численные расчёты и обеспечивает сходимость в методах конечных элементов.

¶Интересные факты

• Дэниел Друкер (1918–2001) — американский учёный в области механики, известный также работами по теории пластичности и устойчивости конструкций. Уильям Прагер (1903–1980) — немецко-американский математик и механик, внёсший вклад в теорию оптимального проектирования.
• Критерий часто называют «конусом Друкера — Прагера» из-за конической формы поверхности текучести.
• В пакетах конечно-элементного анализа (например, в ABAQUS) реализовано несколько вариантов модели: линейная, экспоненциальная и с капиллярным упрочнением (Drucker-Prager Cap).

¶Источники

1. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quarterly of Applied Mathematics. — 1952. — Vol. 10, No. 2. — P. 157–165.
2. Chen W.F., Han D.J. Plasticity for Structural Engineers. — Springer, 1988. — 606 p.
3. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1986.
4. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Vol. 2: Solid Mechanics. — Butterworth-Heinemann, 2000.
5. ГОСТ 12248-2010. Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости.