Критерий Мора — Кулона¶

Критерий Мора — Кулона (также известный как закон Кулона — Мора или теория прочности Мора — Кулона) — это математическая модель, описывающая условие разрушения (потери прочности) горных пород, грунтов, бетона и других хрупких или сыпучих материалов под действием напряжений. Критерий основан на предположении, что разрушение происходит по определённой плоскости, когда касательное напряжение на этой плоскости достигает величины, зависящей от нормального напряжения. Он является одним из наиболее широко используемых в геомеханике, механике грунтов и инженерной геологии.

¶История

Критерий был разработан в начале XX века на основе работ двух учёных. Французский инженер Шарль-Огюстен де Кулон в 1776 году впервые предложил линейную зависимость между касательным и нормальным напряжением для описания прочности грунтов (закон Кулона). В 1900 году немецкий учёный Отто Мор обобщил эту идею, введя понятие кругов напряжений (круги Мора) и сформулировав критерий разрушения для материалов, чья прочность зависит от гидростатического давления. В результате объединения этих подходов возник критерий Мора — Кулона, который стал стандартом в геотехнической практике.

¶Математическая формулировка

Критерий Мора — Кулона в пространстве напряжений записывается как условие предельного состояния. В наиболее распространённой форме он выражается через максимальное и минимальное главные напряжения (σ₁ и σ₃, где σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃):

τ = c + σₙ · tan(φ)

где:

• τ — касательное напряжение на плоскости разрушения;
• σₙ — нормальное напряжение на той же плоскости;
• c — сцепление (когезия) материала;
• φ — угол внутреннего трения.

В терминах главных напряжений условие разрушения имеет вид:

σ₁ - σ₃ = (σ₁ + σ₃) · sin(φ) + 2c · cos(φ)

Или, в альтернативной записи:

σ₁ = σ₃ · (1 + sin(φ)) / (1 - sin(φ)) + 2c · (cos(φ) / (1 - sin(φ)))

¶Круги Мора

Графически критерий изображается с помощью кругов Мора — семейства окружностей, построенных в координатах нормального (σ) и касательного (τ) напряжения. Каждая окружность соответствует определённому напряжённому состоянию. Разрушение наступает, когда круг Мора касается огибающей — прямой линии, заданной уравнением τ = c + σₙ · tan(φ). Угол наклона этой прямой к оси σ равен φ, а отрезок, отсекаемый на оси τ, равен c.

¶Параметры прочности

¶Сцепление (c)

Сцепление — это компонент прочности, не зависящий от нормального давления. Для сыпучих материалов (например, сухого песка) сцепление близко к нулю, для связных грунтов (глины) и горных пород оно может достигать значительных величин. Единица измерения — паскаль (Па) или мегапаскаль (МПа).

¶Угол внутреннего трения (φ)

Угол внутреннего трения характеризует способность материала сопротивляться сдвигу за счёт трения между частицами. Он определяется экспериментально и для большинства грунтов находится в диапазоне от 20° до 45°. Для скальных пород угол может быть выше, до 50–60°.

¶Применение

Критерий Мора — Кулона широко применяется в следующих областях:

• Геотехника и механика грунтов: расчёт устойчивости откосов, подпорных стен, фундаментов, оценка несущей способности оснований.
• Горное дело: оценка устойчивости подземных выработок, расчёт крепи, прогнозирование обрушений.
• Инженерная геология: анализ оползней, селей, обвалов.
• Строительство: расчёт прочности бетонных и каменных конструкций, особенно в условиях сложного напряжённого состояния.
• Нефтегазовая отрасль: оценка прочности пластов при бурении скважин, гидроразрыве пласта.

¶Ограничения и критика

Несмотря на широкое распространение, критерий Мора — Кулона имеет ряд недостатков:

• Линейность: предполагает линейную зависимость между касательным и нормальным напряжением, что не всегда соответствует реальному поведению материалов, особенно при высоких давлениях.
• Не учитывает промежуточное главное напряжение: критерий использует только σ₁ и σ₃, игнорируя влияние σ₂, что может приводить к неточностям.
• Не описывает пластическое течение: критерий применим только для хрупкого разрушения или сдвига, но не для пластической деформации.
• Зависимость от масштаба: параметры c и φ могут меняться в зависимости от размера образца и условий испытаний.

Для более точного описания прочности материалов в сложных условиях используются более сложные модели, такие как критерий Друкера — Прагера, критерии Хоэка — Брауна (для горных пород) или модели упрочняющейся почвы (Hardening Soil model).

¶Экспериментальное определение

Параметры c и φ определяются лабораторными испытаниями:

• Прямой срез: образец срезается по фиксированной плоскости при различных нормальных нагрузках.
• Трёхосное сжатие: образец подвергается всестороннему обжатию и осевому нагружению до разрушения.
• Испытания на одноосное сжатие и растяжение: позволяют построить круги Мора.

По результатам строится огибающая кругов Мора, и методом наименьших квадратов определяются c и φ.

¶Интересные факты

• Критерий Мора — Кулона является частным случаем более общего критерия разрушения Мора, который допускает нелинейную огибающую.
• В механике грунтов угол внутреннего трения часто обозначается как φ' (эффективный угол трения), чтобы отличать его от общего угла, учитывающего поровое давление.
• Для идеально сыпучих материалов (c = 0) критерий сводится к закону сухого трения: τ = σₙ · tan(φ).

¶Источники

• Кулон, Ш. О. (1776). Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture.
• Мор, О. (1900). Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den Bruch eines Materials?.
• Терцаги, К., Пек, Р. (1948). Soil Mechanics in Engineering Practice.
• Гудман, Р. (1989). Introduction to Rock Mechanics.
• Брэдфорд, Дж., Кук, Н. (2007). Fundamentals of Rock Mechanics.