Критерий Шеффе

Критерий Шеффе (метод Шеффе, тест Шеффе) — это апостериорный статистический критерий, используемый в дисперсионном анализе (ANOVA) для проведения множественных сравнений средних значений групп. Разработан американским статистиком Генри Шеффе в 1953 году. Критерий позволяет проверить гипотезы о различиях между любыми линейными комбинациями (контрастами) групповых средних, включая попарные сравнения, при этом контролируя семейную вероятность ошибки первого рода (FWER) на заданном уровне значимости. Отличается высокой консервативностью, то есть даёт более строгие пороги для отклонения нулевой гипотезы по сравнению с другими апостериорными методами, такими как критерий Тьюки или метод Бонферрони.

История и происхождение

Метод был предложен Генри Шеффе в статье «A Method for Judging All Contrasts in the Analysis of Variance» (1953), опубликованной в журнале Biometrika. Шеффе работал в Принстонском университете и занимался вопросами планирования эксперимента и статистического вывода. Разработка критерия была мотивирована необходимостью создания универсального инструмента для проверки любых возможных контрастов между средними, а не только попарных сравнений, что было ограничением существовавших на тот момент методов (например, критерия Фишера). Критерий Шеффе стал одним из первых апостериорных тестов, которые строго контролируют семейную ошибку первого рода для всех возможных линейных комбинаций средних.

Математическая основа

Критерий Шеффе основан на распределении максимального значения F-статистики среди всех возможных контрастов. В отличие от попарных тестов, он использует критическое значение, зависящее от числа сравниваемых групп (k) и общего числа наблюдений (N).

Основные понятия

• Контраст: Линейная комбинация групповых средних \( \sum_{i=1}^{k} c_i \bar{x}_i \), где \( \sum_{i=1}^{k} c_i = 0 \). Коэффициенты \( c_i \) могут быть любыми действительными числами, что позволяет проверять гипотезы о различиях между группами, их суммами или средними.
• Семейная ошибка первого рода (FWER): Вероятность хотя бы одного ложного отклонения нулевой гипотезы среди всех проверяемых гипотез в рамках одного эксперимента.
• F-распределение: Распределение Фишера, используемое для оценки значимости контраста.

Формула критического значения

Для проверки гипотезы о равенстве контраста нулю (H₀: \( \sum c_i \mu_i = 0 \)) используется статистика:

\[ S = \sqrt{(k-1) \cdot F_{\alpha; k-1, N-k} \cdot MS_{within} \cdot \sum_{i=1}^{k} \frac{c_i^2}{n_i}} \]

где:

• \( k \) — количество сравниваемых групп,
• \( N \) — общее количество наблюдений,
• \( F_{\alpha; k-1, N-k} \) — критическое значение F-распределения с уровнями свободы \( k-1 \) и \( N-k \) при уровне значимости \( \alpha \),
• \( MS_{within} \) — средний квадрат ошибки (внутригрупповая дисперсия) из однофакторного дисперсионного анализа,
• \( n_i \) — объём i-й группы,
• \( c_i \) — коэффициенты контраста.

Если абсолютное значение контраста \( |\sum c_i \bar{x}_i| \) превышает \( S \), нулевая гипотеза отклоняется.

Связь с F-критерием

Критерий Шеффе можно рассматривать как обобщение F-критерия из ANOVA. Для любого контраста квадрат его t-статистики, делённый на число степеней свободы \( k-1 \), сравнивается с критическим значением F-распределения. Это делает тест Шеффе наиболее консервативным среди апостериорных методов, так как он учитывает все возможные контрасты, а не только заранее заданные.

Применение

Критерий Шеффе применяется в ситуациях, когда исследователь проводит множественные сравнения после получения значимого общего F-теста в однофакторном дисперсионном анализе. Основные области использования:

• Попарные сравнения: Проверка различий между всеми парами средних. Однако для этой цели чаще применяют более мощные критерии (например, Тьюки).
• Сложные контрасты: Сравнение комбинаций групп, например, среднее первой группы против среднего второй и третьей групп вместе, или проверка линейного тренда в упорядоченных группах.
• Планирование эксперимента: В промышленных и научных экспериментах, где необходимо сравнить несколько уровней фактора (например, дозировки препарата, температуры обработки, типов удобрений).
• Медицина и биология: Сравнение эффективности нескольких методов лечения или воздействия на биологические объекты.
• Психология и социология: Анализ результатов опросов или тестов, где сравниваются средние значения по нескольким группам респондентов.

Пример

Предположим, изучается влияние трёх типов удобрений (A, B, C) на урожайность пшеницы. После проведения ANOVA получен значимый F-тест (p < 0.05). Исследователь хочет проверить гипотезу, что средняя урожайность при использовании удобрения A отличается от средней урожайности при использовании удобрений B и C вместе. Для этого строится контраст: \( c_A = 1, c_B = -0.5, c_C = -0.5 \). Критерий Шеффе позволяет оценить значимость этого контраста, контролируя семейную ошибку.

Сравнение с другими апостериорными критериями

Критерий Шеффе занимает особое место среди методов множественных сравнений.

Преимущества и недостатки

Преимущества:

• Универсальность: позволяет проверять любые линейные контрасты, включая сложные.
• Строгий контроль FWER для всех возможных контрастов, что гарантирует отсутствие ложных выводов при любом количестве проверок.
• Не требует равных объёмов групп (в отличие от критерия Тьюки в классической форме).

Недостатки:

• Высокая консервативность: для попарных сравнений критерий Шеффе часто даёт более широкие доверительные интервалы и реже отклоняет нулевую гипотезу, чем другие методы. Это может привести к пропуску реально существующих различий (ошибка второго рода).
• Сложность ручного расчёта для большого числа контрастов.
• Меньшая мощность по сравнению с критерием Тьюки для попарных сравнений, особенно при равных объёмах групп.

Условия применения

Для корректного использования критерия Шеффе должны выполняться те же предположения, что и для однофакторного дисперсионного анализа:

1. Независимость наблюдений: Данные в каждой группе независимы друг от друга.
2. Нормальность распределения: Остатки (или данные внутри групп) должны быть приблизительно нормально распределены. При умеренных отклонениях от нормальности критерий устойчив, особенно при больших объёмах выборок.
3. Гомогенность дисперсий: Дисперсии в группах должны быть примерно равны. Для проверки этого условия используется, например, критерий Левена. При нарушении гомогенности рекомендуется использовать модификации (например, критерий Уэлча) или непараметрические аналоги.

Критика и ограничения

Основная критика критерия Шеффе связана с его чрезмерной консервативностью. В ситуациях, когда исследователя интересуют только попарные сравнения, применение критерия Шеффе может быть неоправданным, так как он снижает статистическую мощность. Некоторые статистики рекомендуют использовать критерий Шеффе только в тех случаях, когда заранее не определены конкретные контрасты и исследователь хочет проверить все возможные гипотезы. В противном случае предпочтительнее использовать более специализированные методы, такие как критерий Тьюки или Даннета.

Интересные факты

• Генри Шеффе разработал свой критерий, работая над проблемами анализа дисперсии в контексте планирования эксперимента в сельском хозяйстве и промышленности.
• Критерий Шеффе является асимптотически эквивалентным методу Бонферрони при большом числе сравнений, но для малого числа сравнений он менее консервативен.
• В современных статистических пакетах (R, SPSS, Python) критерий Шеффе реализован как стандартная опция апостериорного анализа.

Источники

1. Scheffé, H. (1953). A Method for Judging All Contrasts in the Analysis of Variance. Biometrika, 40(1/2), 87–104.
2. Montgomery, D. C. (2017). Design and Analysis of Experiments (9th ed.). Wiley.
3. Hsu, J. C. (1996). Multiple Comparisons: Theory and Methods. Chapman & Hall/CRC.
4. Гланц, С. (1998). Медико-биологическая статистика. Практика.