Распределение Фишера

Распределение Фишера (F-распределение, распределение Фишера — Снедекора) — это непрерывное распределение вероятностей, которое возникает при отношении двух независимых случайных величин, имеющих распределение хи-квадрат, нормированных на число степеней свободы. Является одним из основных распределений в математической статистике, используемым, в первую очередь, в дисперсионном анализе (ANOVA), регрессионном анализе и при проверке гипотез о равенстве дисперсий двух нормальных совокупностей. Названо в честь английского статистика Рональда Фишера, который впервые описал его свойства, и американского статистика Джорджа Снедекора, разработавшего таблицы для практического применения.

Определение

Пусть \(U\) и \(V\) — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат с \(d_1\) и \(d_2\) степенями свободы соответственно (\(U \sim \chi^2(d_1)\), \(V \sim \chi^2(d_2)\)). Тогда распределение случайной величины

\[ F = \frac{U / d_1}{V / d_2} \]

называется F-распределением с \(d_1\) и \(d_2\) степенями свободы. Обозначается как \(F \sim F(d_1, d_2)\) или \(F \sim \text{Fisher}(d_1, d_2)\).

Параметры \(d_1\) (степени свободы числителя) и \(d_2\) (степени свободы знаменателя) являются положительными целыми числами, хотя в некоторых обобщениях могут быть и дробными.

История

Распределение было впервые выведено Рональдом Фишером в 1924 году в работе «On a distribution yielding the error functions of several well known statistics» (О распределении, дающем функции ошибок нескольких известных статистик). Фишер использовал его для анализа дисперсий в экспериментах с малыми выборками. Однако практическое применение было затруднено из-за сложности вычислений. В 1934 году Джордж Снедекор, ученик Фишера, опубликовал таблицы процентных точек F-распределения, что сделало его доступным для статистиков-практиков. В честь Снедекора распределение часто называют F-распределением Фишера — Снедекора.

Характеристики

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) для \(F \sim F(d_1, d_2)\) при \(x > 0\) имеет вид:

\[ f(x; d_1, d_2) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1 x)^{d_1} d_2^{d_2}}{(d_1 x + d_2)^{d_1 + d_2}}}}{x \cdot B\left(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}\right)}, \]

где \(B(\alpha, \beta)\) — бета-функция. Для \(x \le 0\) плотность равна нулю.

Функция распределения

Функция распределения (CDF) выражается через регуляризованную неполную бета-функцию:

\[ F(x; d_1, d_2) = I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\left(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}\right), \]

где \(I_z(a,b)\) — регуляризованная неполная бета-функция.

Моменты

Математическое ожидание существует только при \(d_2 > 2\) и равно:

\[ E[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}. \]

Дисперсия существует при \(d_2 > 4\) и вычисляется по формуле:

\[ \text{Var}[F] = \frac{2 d_2^2 (d_1 + d_2 - 2)}{d_1 (d_2 - 2)^2 (d_2 - 4)}. \]

Мода распределения равна:

\[ \text{Mode}[F] = \frac{d_2 (d_1 - 2)}{d_1 (d_2 + 2)} \quad \text{при } d_1 > 2. \]

Форма

Распределение Фишера является асимметричным (правосторонняя асимметрия). При увеличении числа степеней свободы знаменателя (\(d_2\)) распределение приближается к нормальному, а при увеличении \(d_1\) — к распределению хи-квадрат, делённому на число степеней свободы. При \(d_1 = 1\) распределение Фишера совпадает с распределением Стьюдента в квадрате: \(F(1, d_2) = t^2(d_2)\).

Свойства

1. Связь с бета-распределением: Если \(F \sim F(d_1, d_2)\), то случайная величина \(\frac{d_1 F}{d_1 F + d_2}\) имеет бета-распределение с параметрами \(\frac{d_1}{2}\) и \(\frac{d_2}{2}\).
2. Обратное распределение: Если \(F \sim F(d_1, d_2)\), то \(\frac{1}{F} \sim F(d_2, d_1)\).
3. Связь с распределением хи-квадрат: При \(d_2 \to \infty\) распределение \(d_1 F\) стремится к распределению хи-квадрат с \(d_1\) степенями свободы.
4. Квантили: Квантили распределения Фишера удовлетворяют соотношению: \(F_{1-\alpha}(d_1, d_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(d_2, d_1)}\), где \(F_{\alpha}\) — \(\alpha\)-квантиль.

Применение

Дисперсионный анализ (ANOVA)

Основная область применения F-распределения — дисперсионный анализ. В однофакторном ANOVA F-статистика вычисляется как отношение межгрупповой дисперсии к внутригрупповой дисперсии. Если нулевая гипотеза о равенстве средних во всех группах верна, то эта статистика имеет F-распределение с \(d_1 = k - 1\) и \(d_2 = N - k\) степенями свободы, где \(k\) — число групп, \(N\) — общий объём выборки.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

F-тест (критерий Фишера) используется для проверки гипотезы \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) против \(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) для двух нормальных выборок. Статистика вычисляется как отношение выборочных дисперсий: \(F = \frac{S_1^2}{S_2^2}\), где \(S_1^2\) — большая дисперсия. При верной нулевой гипотезе эта статистика имеет F-распределение с \(d_1 = n_1 - 1\) и \(d_2 = n_2 - 1\) степенями свободы.

Регрессионный анализ

В множественной линейной регрессии F-статистика используется для проверки общей значимости модели (гипотезы о том, что все коэффициенты регрессии, кроме свободного члена, равны нулю). Она вычисляется как отношение объяснённой регрессией дисперсии к остаточной дисперсии, нормированных на число степеней свободы.

Другие области

• Критерий Чоу: проверка структурных изменений в регрессионных моделях.
• Критерий Голдфелда — Куандта: проверка гетероскедастичности остатков.
• Критерий Шеффе: апостериорное сравнение средних в ANOVA.
• Анализ временных рядов: проверка значимости автокорреляции.

Таблицы и программное обеспечение

До широкого распространения компьютеров для использования F-распределения применялись таблицы квантилей (критических значений), которые впервые были опубликованы Снедекором. Современные статистические пакеты (R, Python (scipy.stats), SPSS, SAS, MATLAB) и электронные таблицы (Microsoft Excel) содержат встроенные функции для вычисления плотности, функции распределения и квантилей F-распределения (например, F.DIST, F.INV в Excel, scipy.stats.f в Python).

Связь с другими распределениями

• Распределение Стьюдента: \(t^2(d) \sim F(1, d)\).
• Распределение хи-квадрат: \(\chi^2(d) \sim \lim_{d_2 \to \infty} d \cdot F(d, d_2)\).
• Нормальное распределение: При \(d_1, d_2 \to \infty\) распределение Фишера стремится к нормальному.
• Бета-распределение: Преобразование F-распределения даёт бета-распределение второго рода.

Критика и ограничения

F-тест чувствителен к отклонению от нормальности распределения данных. При сильной асимметрии или выбросах в выборках результаты теста могут быть ненадёжными. Для робастных методов (например, критерия Брауна — Форсайта) используются модификации F-распределения. Также F-тест на равенство дисперсий является неустойчивым к отклонению от нормальности — рекомендуется использовать критерий Левена или критерий Бартлетта.

Источники

• Fisher, R. A. (1924). On a distribution yielding the error functions of several well known statistics. Proceedings of the International Congress of Mathematics, 2, 805–813.
• Snedecor, G. W. (1934). Calculation and Interpretation of Analysis of Variance and Covariance. Collegiate Press.
• Кендалл, М. Дж., Стьюарт, А. (1973). Статистические выводы и связи. М.: Наука.
• Кобзарь, А. И. (2006). Прикладная математическая статистика. М.: Физматлит.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, Vol. 2 (2nd ed.). Wiley.