Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни

Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (также известный как U-критерий Манна-Уитни, или критерий Уилкоксона для независимых выборок) — это непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо количественно измеренного признака. Он позволяет выявить, смещены ли значения в одной выборке систематически в большую или меньшую сторону по сравнению с другой, не требуя нормального распределения данных. Критерий является аналогом параметрического t-критерия Стьюдента для независимых выборок, но применяется в случаях, когда предположения о нормальности распределения не выполняются или данные представлены в порядковой шкале.

История

Критерий был разработан независимо двумя статистиками в середине XX века. В 1945 году американский химик и статистик Фрэнк Уилкоксон (Frank Wilcoxon) опубликовал статью, в которой предложил два критерия: один для парных (связанных) выборок (ныне известный как T-критерий Уилкоксона) и один для независимых выборок. В 1947 году американские математики Генри Манн (Henry Mann) и Дональд Уитни (Donald Ransom Whitney) формализовали и обобщили метод Уилкоксона, опубликовав его в виде U-критерия. В современной литературе оба названия используются как синонимы, хотя технически критерий Уилкоксона для независимых выборок и U-критерий Манна-Уитни эквивалентны.

Суть метода

Критерий основан на ранжировании всех значений объединённой выборки. Вместо сравнения средних арифметических (как в t-критерии) он сравнивает суммы рангов, присвоенных элементам каждой из двух групп. Нулевая гипотеза (H₀) утверждает, что две выборки взяты из одной генеральной совокупности, то есть их распределения идентичны. Альтернативная гипотеза (H₁) — что распределения различаются по сдвигу (центральная тенденция одной группы смещена относительно другой).

Алгоритм расчёта

1. Объединение и ранжирование: Все значения двух выборок (n₁ и n₂) объединяются в один массив и упорядочиваются по возрастанию. Каждому значению присваивается ранг — порядковый номер в объединённом ряду. При наличии одинаковых значений (связок) им присваивается средний арифметический ранг.
2. Вычисление суммы рангов: Для каждой выборки подсчитывается сумма рангов (R₁ и R₂).
3. Расчёт U-статистики: Значение U вычисляется по формуле:

U = n₁ n₂ + (n₁ (n₁ + 1)) / 2 — R₁ (или аналогично для второй выборки). Меньшее из двух значений U₁ и U₂ используется для проверки гипотезы.

1. Проверка значимости: Полученное значение U сравнивается с критическим значением из таблицы распределения Манна-Уитни для заданного уровня значимости (обычно α = 0,05) и объёмов выборок. Если U ≤ U_крит, нулевая гипотеза отклоняется, и различия считаются статистически значимыми. При больших выборках (n₁ > 20, n₂ > 20) распределение U аппроксимируется нормальным, и используется z-критерий.

Область применения и ограничения

Применение

Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни широко используется в различных областях, где данные не соответствуют требованиям параметрических тестов:

• Медицина и биология: Сравнение эффективности двух методов лечения, когда показатели (например, время до наступления эффекта, уровень боли по шкале) не распределены нормально.
• Психология и социология: Анализ результатов опросов, тестов, ранговых оценок (например, сравнение уровня тревожности в двух группах испытуемых).
• Экономика и маркетинг: Сравнение доходов, предпочтений, оценок качества продукции в двух независимых группах потребителей.
• Технические науки: Оценка влияния различных факторов на показатели качества, когда данные имеют несимметричное распределение.

Ограничения

• Независимость выборок: Критерий предназначен только для несвязанных выборок. Для парных (зависимых) выборок используется T-критерий Уилкоксона.
• Порядковая или количественная шкала: Данные должны быть измерены как минимум в порядковой шкале (ранги, баллы) или в интервальной/отношений шкале, но с ненормальным распределением.
• Чувствительность к сдвигу: Критерий чувствителен именно к сдвигу центральной тенденции (медианы), а не к различиям в форме распределения (например, разной дисперсии). При одинаковых медианах, но разной форме распределения критерий может не показать значимых различий.
• Мощность: При выполнении условий нормальности параметрический t-критерий имеет большую статистическую мощность (способность обнаружить реальные различия). Однако при отклонениях от нормальности мощность U-критерия может быть выше.

Пример использования

Предположим, исследователь хочет проверить, отличается ли время реакции (в секундах) на стимул у двух групп испытуемых: контрольной (n₁ = 5) и экспериментальной (n₂ = 6). Данные: контрольная группа — 0.5, 0.7, 0.8, 1.0, 1.2; экспериментальная — 0.6, 0.9, 1.1, 1.3, 1.5, 1.8.

1. Ранжирование: Объединённый ряд: 0.5 (1), 0.6 (2), 0.7 (3), 0.8 (4), 0.9 (5), 1.0 (6), 1.1 (7), 1.2 (8), 1.3 (9), 1.5 (10), 1.8 (11). Сумма рангов контрольной группы: 1+3+4+6+8 = 22. Экспериментальной: 2+5+7+9+10+11 = 44.
2. Расчёт U: U₁ = 56 + (56)/2 — 22 = 30 + 15 — 22 = 23. U₂ = 56 + (67)/2 — 44 = 30 + 21 — 44 = 7. Меньшее U = 7.
3. Сравнение с критическим значением: Для n₁=5, n₂=6 и α=0,05 (двусторонний тест) критическое значение U_крит = 3. Так как 7 > 3, нулевая гипотеза не отклоняется. Различия во времени реакции между группами статистически не значимы на уровне 0,05.

Связь с другими критериями

• T-критерий Стьюдента: Параметрический аналог, применяемый при нормальном распределении данных.
• Критерий Краскела-Уоллиса: Непараметрическое обобщение U-критерия для сравнения трёх и более независимых выборок.
• Критерий знаков и T-критерий Уилкоксона: Непараметрические критерии для парных (связанных) выборок.

Программная реализация

Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни реализован во всех основных статистических пакетах и языках программирования:

• R: Функция wilcox.test() с параметром paired = FALSE.
• Python (SciPy): Функция mannwhitneyu() из модуля scipy.stats.
• SPSS: Меню «Анализ» → «Непараметрические критерии» → «Две независимые выборки».
• Excel: Реализуется через надстройку «Пакет анализа» или ручной расчёт с использованием таблиц критических значений.

Критика и альтернативы

Основная критика критерия связана с его чувствительностью к различиям в форме распределения при одинаковых медианах. В таких случаях он может давать ложноположительные результаты. Альтернативой является использование более устойчивых методов, таких как:

• Бутстреп-тесты: Оценка различий медиан с помощью перестановочных тестов.
• Критерий Бруннера-Мунцеля: Устойчив к гетероскедастичности (различиям в дисперсиях) и не требует одинаковой формы распределения.
• Критерий Ван дер Вардена: Основан на нормальных рангах и может быть более мощным при определённых условиях.

Несмотря на ограничения, критерий Уилкоксона-Манна-Уитни остаётся одним из наиболее распространённых непараметрических методов в прикладной статистике благодаря своей простоте, надёжности и широкой доступности в программном обеспечении.

Источники

• Wilcoxon, F. (1945). Individual Comparisons by Ranking Methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80-83.
• Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other. The Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50-60.
• Hollander, M., Wolfe, D. A., & Chicken, E. (2014). Nonparametric Statistical Methods (3rd ed.). Wiley.
• Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.