Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Критерий знаковых рангов Уилкоксона (также известный как критерий Уилкоксона для связанных выборок, англ. Wilcoxon signed-rank test) — это непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух связанных (парных) выборок по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или порядковой шкале. Он позволяет проверить гипотезу о том, что медиана разности значений в парах равна нулю, то есть что сдвиг в значениях между двумя условиями (например, «до» и «после») статистически значим. Критерий был предложен американским статистиком Фрэнком Уилкоксоном в 1945 году.

История

Критерий знаковых рангов был разработан Фрэнком Уилкоксоном (1892—1965) в 1945 году, когда он работал в Американской цианамидной компании. Уилкоксон стремился создать простой и эффективный непараметрический аналог парного t-критерия Стьюдента, который не требует предположения о нормальном распределении разностей. В своей работе «Individual Comparisons by Ranking Methods» (1945) он описал два критерия: один для независимых выборок (критерий Манна-Уитни, позже названный критерием Уилкоксона-Манна-Уитни) и другой для связанных выборок — собственно критерий знаковых рангов. Уилкоксон использовал ранжирование абсолютных значений разностей, что позволило учитывать не только знак разности, но и её величину, что сделало критерий более мощным, чем простой знаковый критерий.

В 1947 году Хенри Манн и Дональд Уитни обобщили критерий для независимых выборок, что привело к появлению двух тесно связанных, но различных критериев. Критерий знаковых рангов для связанных выборок остался в оригинальной формулировке Уилкоксона. Впоследствии он был включён в большинство учебников по статистике и стал стандартным инструментом в биомедицинских исследованиях, психологии, экономике и других областях, где требуется анализ парных данных.

Область применения и предпосылки

Критерий знаковых рангов Уилкоксона применяется, когда необходимо сравнить два набора данных, полученных от одних и тех же объектов (или подобранных пар) в разных условиях. Типичные примеры:

• Измерение артериального давления у пациентов до и после приёма лекарства.
• Сравнение успеваемости студентов до и после прохождения курса обучения.
• Оценка эффективности тренинга по показателям производительности труда.

Предпосылки для применения критерия

Для корректного использования критерия необходимо выполнение следующих условий:

1. Связанность выборок: данные должны быть парными (каждое наблюдение из первой выборки соответствует одному наблюдению из второй).
2. Непрерывность или порядковость данных: измерения должны быть как минимум порядковыми (ранговыми), но предпочтительнее непрерывные количественные данные.
3. Симметричность распределения разностей: распределение разностей между парами должно быть симметричным относительно медианы. Это важное условие, отличающее критерий от простого знакового критерия, который не требует симметрии.
4. Независимость пар: пары наблюдений должны быть независимы друг от друга.

Если распределение разностей несимметрично, критерий может давать неточные результаты. В таких случаях рекомендуется использовать знаковый критерий.

Алгоритм расчёта

Расчёт критерия знаковых рангов Уилкоксона включает несколько этапов:

1. Вычисление разностей: для каждой пары (x_i, y_i) вычисляется разность d_i = y_i - x_i. Если разность равна нулю, такая пара исключается из дальнейшего анализа (число пар n уменьшается).
2. Ранжирование абсолютных значений: все ненулевые |d_i| упорядочиваются по возрастанию, и им присваиваются ранги от 1 до n. Если несколько |d_i| равны (связи), им присваивается средний ранг (например, для двух равных значений 2 и 2 — ранг 2.5).
3. Присвоение знаков рангам: каждому рангу присваивается знак исходной разности d_i (положительный, если d_i > 0, отрицательный, если d_i < 0).
4. Вычисление суммы рангов: рассчитываются две суммы: W_+ — сумма рангов положительных разностей, и W_- — сумма рангов отрицательных разностей. Тестовая статистика W обычно принимается как меньшая из двух сумм: W = min(W_+, W_-).
5. Определение критического значения: для заданного уровня значимости α (чаще всего 0.05) и числа пар n по таблице критических значений критерия Уилкоксона находится критическое значение W_кр. Если W ≤ W_кр, нулевая гипотеза (об отсутствии сдвига) отвергается.

При больших n (обычно n > 20) распределение статистики W аппроксимируется нормальным распределением, и для проверки гипотезы используется Z-статистика.

Пример

Рассмотрим гипотетический пример: 10 пациентов измеряли уровень тревожности (по шкале от 0 до 10) до и после психотерапии. Данные:

После исключения нулевых разностей (пациенты 4 и 10) остаётся n=8. Сумма рангов положительных разностей W_+ = 0 (нет положительных разностей), сумма рангов отрицательных W_- = 4.5+4.5+4.5+4.5+1.5+1.5+1.5+1.5 = 24. Меньшая сумма W = 0. Для n=8 и α=0.05 (двусторонний тест) критическое значение W_кр = 3. Так как 0 ≤ 3, нулевая гипотеза отвергается — терапия значимо снизила уровень тревожности.

Сравнение с другими критериями

• Парный t-критерий Стьюдента: параметрический аналог, требующий нормального распределения разностей. Если это условие выполняется, t-критерий более мощный (чувствительный). Критерий Уилкоксона предпочтительнее при отклонениях от нормальности, особенно при малых выборках.
• Знаковый критерий: непараметрический критерий, использующий только знаки разностей, игнорируя их величину. Он менее мощный, чем критерий Уилкоксона, но не требует симметричности распределения разностей.
• Критерий Манна-Уитни (U-тест): используется для независимых выборок, а не для связанных.

Ограничения и критика

• Симметричность разностей: нарушение этого условия может привести к завышенной ошибке первого рода (ложное обнаружение эффекта).
• Связи (равные значения): при большом количестве одинаковых абсолютных разностей (особенно нулевых) точность критерия снижается. Для коррекции используются поправки на связи.
• Малый объём выборки: при n < 6 критерий имеет низкую мощность и не может обнаружить эффект даже при его наличии.
• Интерпретация: критерий проверяет гипотезу о сдвиге медианы разностей, а не о разности средних, что важно учитывать при интерпретации результатов.

Программная реализация

Критерий знаковых рангов Уилкоксона реализован во всех основных статистических пакетах:

• R: функция wilcox.test(x, y, paired = TRUE).
• Python (SciPy): функция scipy.stats.wilcoxon(x, y).
• SPSS: команда NPAR TESTS /WILCOXON.
• SAS: процедура PROC UNIVARIATE с опцией WILCOXON.
• Microsoft Excel: встроенной функции нет, но можно выполнить расчёт вручную или с помощью надстройки «Пакет анализа» (непараметрические тесты).

Источники

• Wilcoxon, F. (1945). Individual Comparisons by Ranking Methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80-83.
• Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.
• Hollander, M., Wolfe, D. A., & Chicken, E. (2014). Nonparametric Statistical Methods (3rd ed.). Wiley.
• Lehmann, E. L. (2006). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks. Springer.