Квантовые группы

Квантовая группа — это алгебраическая структура, обобщающая понятие группы в математике и математической физике. В отличие от классических групп, которые являются множествами с бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности, существования единицы и обратного элемента, квантовые группы представляют собой некоммутативные и некокоммутативные алгебры Хопфа. Они возникли в 1980-х годах в работах математиков Владимира Дринфельда и Митио Джимбо как результат изучения квантового метода обратной задачи и теории интегрируемых систем. Квантовые группы не являются группами в классическом смысле, а представляют собой деформации алгебр функций на группах Ли или их универсальных обертывающих алгебр.

Определение и основные понятия

Формально квантовая группа определяется как алгебра Хопфа, которая не является ни коммутативной, ни кокоммутативной. Алгебра Хопфа — это векторное пространство над полем (обычно над полем комплексных чисел C), снабженное структурами алгебры (умножение) и коалгебры (коумножение), а также антиподом (аналогом обратного элемента) и единицей. Коумножение Δ: H → H ⊗ H является гомоморфизмом алгебр и удовлетворяет свойству коассоциативности: (Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ. Антипод S: H → H является антигомоморфизмом алгебр и удовлетворяет условию: m ∘ (S ⊗ id) ∘ Δ = m ∘ (id ⊗ S) ∘ Δ = ε·1, где m — умножение, ε — коединица.

Ключевое отличие квантовых групп от классических групп Ли заключается в том, что их «координатные функции» не коммутируют. В классическом случае алгебра функций на группе Ли G является коммутативной, а ее коумножение задается правилом (Δf)(g1, g2) = f(g1·g2). В квантовом случае алгебра становится некоммутативной, но сохраняет структуру алгебры Хопфа.

История

Предыстория

Идеи, приведшие к появлению квантовых групп, восходят к 1970-м годам, когда в рамках квантового метода обратной задачи (КМОЗ) были разработаны методы решения интегрируемых нелинейных уравнений. В работах Людвига Фаддеева, Евгения Склянина, Леонида Тахтаджяна и других была предложена алгебраическая структура, известная как алгебра Пуассона-Ли, которая описывает скобки Пуассона на группах Ли. В 1981 году Владимир Дринфельд ввел понятие квантовой группы как деформации алгебры функций на группе Ли, параметризованной формальным параметром h (постоянной Планка). В 1985 году Митио Джимбо независимо построил квантовые группы, связанные с простыми алгебрами Ли, используя подход теории интегрируемых систем.

Основные этапы развития

В 1986 году Дринфельд выступил с докладом на Международном конгрессе математиков в Беркли, где сформулировал основные идеи теории квантовых групп. В 1987 году была опубликована его монография «Квантовые группы», которая стала фундаментальным трудом в этой области. В 1988 году Джимбо опубликовал работу, в которой ввел квантовые группы для всех простых алгебр Ли, используя так называемые квантовые детерминанты. В 1990-е годы теория квантовых групп получила развитие в работах математиков, таких как Шейн Мейджор, Юрий Манин, Николай Решетихин, Александр Кириллов и других. Были установлены связи с теорией узлов, топологией трехмерных многообразий, конформной теорией поля и статистической механикой.

Классификация

Квантовые группы классифицируются по типу исходной алгебры Ли и по типу деформации. Основные классы включают:

Квантовые группы типа A, B, C, D

Это квантовые группы, соответствующие простым алгебрам Ли классических серий: A_n (sl(n+1)), B_n (so(2n+1)), C_n (sp(2n)), D_n (so(2n)). Наиболее известной является квантовая группа U_q(sl(2)), которая является деформацией универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли sl(2). Она порождается элементами E, F, K, K^{-1} с соотношениями:

• KE = q^2 EK
• KF = q^{-2} FK
• EF - FE = (K - K^{-1})/(q - q^{-1})

Квантовые группы типа G_2, F_4, E_6, E_7, E_8

Эти квантовые группы соответствуют исключительным простым алгебрам Ли. Они были построены Джимбо и другими авторами. Их структура более сложна, но общая теория алгебр Хопфа применима и к ним.

Квантовые группы с параметром q

Наиболее распространенный тип квантовых групп — это деформации, параметризованные комплексным числом q, не равным 0 или 1. При q → 1 квантовая группа вырождается в классическую универсальную обертывающую алгебру. При q, являющемся корнем из единицы, квантовая группа имеет конечный порядок и обладает дополнительными свойствами, такими как существование центра и представлений конечной размерности.

Устройство и характеристики

Алгебраическая структура

Квантовая группа U_q(g) для простой алгебры Ли g является алгеброй Хопфа с образующими, соответствующими элементам Картана (K_i) и корневым векторам (E_i, F_i). Соотношения между ними задаются с помощью q-деформированных коммутационных соотношений, которые включают q-аналог скобки Ли. Коумножение определяется формулами:

• Δ(K_i) = K_i ⊗ K_i
• Δ(E_i) = E_i ⊗ K_i + 1 ⊗ E_i
• Δ(F_i) = F_i ⊗ 1 + K_i^{-1} ⊗ F_i

Представления

Представления квантовых групп аналогичны представлениям классических алгебр Ли, но с модифицированными правилами. Для U_q(sl(2)) существуют конечномерные неприводимые представления, размерность которых равна n+1 для n = 0, 1, 2, ... . При q, не являющемся корнем из единицы, эти представления имеют ту же размерность, что и классические. При q, являющемся корнем из единицы, размерность представлений может быть ограничена.

R-матрица

Важным объектом, связанным с квантовыми группами, является универсальная R-матрица, которая удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера. R-матрица является элементом H ⊗ H и описывает квазитреугольную структуру квантовой группы. Она позволяет строить решения уравнения Янга-Бакстера, которые используются в статистической механике и квантовой теории поля.

Применение

Теория узлов и инварианты

Квантовые группы являются основой для построения инвариантов узлов и зацеплений, таких как полином Джонса и его обобщения. В 1984 году Вон Джонс открыл полином, названный его именем, который оказался связан с квантовой группой U_q(sl(2)). В 1990-е годы Решетихин и Тураев разработали метод построения инвариантов трехмерных многообразий с помощью квантовых групп, что привело к созданию инвариантов, известных как инварианты Решетихина-Тураева.

Статистическая механика

В статистической механике квантовые группы используются для описания интегрируемых решеточных моделей, таких как модель XYZ Гейзенберга и модель шести вершин. R-матрица, связанная с квантовой группой, задает веса вершин и позволяет решать модель методом трансфер-матрицы.

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля квантовые группы применяются в конформной теории поля и в теории квантовых групп в пространствах с некоммутативной геометрией. Они используются для описания симметрий в квантовых системах, где классические группы Ли перестают быть адекватными.

Математическая физика

Квантовые группы находят применение в теории квантовых гравитационных моделей, в теории струн и в некоммутативной геометрии. Они также используются в теории квантовых групп как алгебраических структур, обобщающих группы Ли.

Критика и ограничения

Несмотря на широкое применение, теория квантовых групп имеет определенные ограничения. Во-первых, не все квантовые группы могут быть реализованы как алгебры Хопфа над полем комплексных чисел — в некоторых случаях требуется работа с формальными степенными рядами. Во-вторых, при q, являющемся корнем из единицы, возникают особенности, связанные с конечностью размерности представлений и появлением дополнительных центральных элементов. В-третьих, квантовые группы не являются группами в классическом смысле, что затрудняет их интерпретацию в терминах геометрии.

Интересные факты

• Термин «квантовая группа» был введен Владимиром Дринфельдом в 1986 году. До этого использовались названия «квантовая алгебра» или «деформированная алгебра».
• Квантовые группы имеют связь с теорией квантовых вычислений: некоторые квантовые алгоритмы используют алгебраические структуры, аналогичные квантовым группам.
• В 1990 году Дринфельд получил Филдсовскую медаль за работы по квантовым группам и теории модулярных форм.
• Квантовые группы являются частным случаем более общего понятия — квазитреугольных алгебр Хопфа, которые изучаются в теории категорий.

Источники

• Дринфельд В. Г. Квантовые группы // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1986. — Т. 155. — С. 18–49.
• Jimbo M. A q-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation // Letters in Mathematical Physics. — 1985. — Vol. 10. — P. 63–69.
• Majid S. Foundations of Quantum Group Theory. — Cambridge University Press, 1995.
• Chari V., Pressley A. A Guide to Quantum Groups. — Cambridge University Press, 1994.
• Kassel C. Quantum Groups. — Springer, 1995.