Лемниската Бернулли¶

Лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая четвёртой степени, представляющая собой частный случай кривой Кассини, для которой расстояния от двух неподвижных точек (фокусов) имеют постоянное произведение, равное квадрату половины расстояния между фокусами. В декартовых координатах уравнение кривой записывается в виде $(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)$, где $2a$ — расстояние между фокусами. Кривая имеет форму восьмёрки, симметричной относительно начала координат, осей $Ox$ и $Oy$.

¶Происхождение названия

Термин «лемниската» происходит от др.-греч. λεμνίσκος — «лента, перевязь». Кривая была впервые изучена Якобом Бернулли в 1694 году в Базеле как частный случай кривой Кассини, описанной Джованни Кассини в 1679 году. Якоб Бернулли определил её как место точек, для которых произведение расстояний до двух неподвижных точек постоянно. Позже, в 1718 году, термин «лемниската» ввёл Гийом Франсуа де Лопиталь в своём трактате «Анализ бесконечно малых».

¶Уравнения

Кривая допускает несколько эквивалентных записей уравнения.

¶Декартовы координаты

$$(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)$$

Здесь $a$ — половина расстояния между фокусами $F_1(-a, 0)$ и $F_2(a, 0)$. Начало координат является двойной точкой (самопересечением), через которую проходят две ветви кривой.

¶Полярные координаты

При переходе к полярным координатам $r$, $\varphi$ уравнение принимает особенно простой вид:

$$r^2 = 2a^2\cos 2\varphi$$

Из этого вида следует, что кривая определена лишь при $\cos 2\varphi \ge 0$, то есть $\varphi$ лежит в интервалах $[-\pi/4, \pi/4]$ и $[3\pi/4, 5\pi/4]$. Кривая состоит из двух петель (лопастей), простирающихся вдоль оси $Ox$ от $x = -a\sqrt{2}$ до $x = a\sqrt{2}$.

¶Параметрическое представление

Параметрические уравнения:

$$x = \frac{a\sqrt{2}\cos t}{1+\sin^2 t}, \quad y = \frac{a\sqrt{2}\sin t\cos t}{1+\sin^2 t}$$

где параметр $t$ пробегает значения от $0$ до $2\pi$.

¶Геометрические свойства

• Длина кривой. Полная длина лемнискаты Бернулли равна $\frac{4\sqrt{2}}{3}a \cdot K(1/2)$, где $K(1/2)$ — полный эллиптический интеграл первого рода при модуле $k^2 = 1/2$. Эта величина впервые была вычислена Якобом Бернулли и связана с одним из первых примеров использования эллиптических интегралов в математике.
• Площадь. Площадь, ограниченная лемнискатой, равна $2a^2$.
• Кривизна. В начале координат (двойной точке) кривизна обращается в бесконечность; в конечных точках лопастей кривизна также не ограничена.
• Касательные в начале. Две ветви кривой пересекаются в начале координат под углом $\pi/2$ (90°), образуя характерную форму «восьмёрки».

¶Связь с другими кривыми

Лемниската Бернулли — частный случай семейства кривых Кассини, описываемых уравнением $|(z-c)(z+c)| = b^2$ в комплексной плоскости. При $b = c$ (то есть когда произведение расстояний равно квадрату половины расстояния между фокусами) кривая Кассини вырождается в лемнискату Бернулли. При $b > c$ кривая Кассини является замкнутой овалообразной кривой, при $b < c$ распадается на две отдельные замкнутые ветви, а при $b = c$ возникает двойная точка.

Лемниската также связана с трилистником (кривая Бернулли), который получается поворотом лемнискаты на угол $\pi/2$ и последующим преобразованием. Трилистник описывается уравнением $r = a\cos 3\varphi$ в полярных координатах.

¶Применение

• Математический анализ. Лемниската Бернулли исторически сыграла важную роль в развитии теории эллиптических функций и интегралов. Интеграл длины дуги лемнискаты привёл к введению лемнискатических синуса и косинуса — периодических функций, аналогов тригонометрических функций, изучавшихся Карлом Вейерштрассом и другими математиками XIX века.
• Кинематика. Лемниската возникает как траектория движения в механизме лемниската (лемнискатный механизм), преобразующем равномерное вращение в возвратно-поступательное движение вдоль восьмиобразной траектории.
• Оптика. Диаграмма направленности некоторых антенн и излучателей имеет форму лемнискаты.
• Архитектура и искусство. Форма восьмёрки используется в декоративных элементах и орнаментах.

¶Интересные факты

• Лемниската Бернулли — пример кривой, длину которой нельзя выразить элементарными функциями, что и послужило толчком к развитию теории эллиптических интегралов.
• В честь лемнискаты назван астероид (2702) Бернулли, открытый в 1979 году.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс истории математики. Том 1.
• Роджерс Л. Ф. Математический клуб восьми лепестков.
• Шабунин М. И. Курс математического анализа. Том 1.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся математика.
• Якоб Бернулли. «De lemniscata» (1694).