Семейство Бернулли и закон Бернулли¶

Бернулли — собирательное название, относящееся к двум связанным, но различным понятиям: швейцарской династии математиков и физиков XVII–XVIII веков, а также к фундаментальному закону гидроаэродинамики, названному в честь одного из её представителей. В узком смысле термин чаще всего употребляется для обозначения закона Бернулли или членов семьи Бернулли, внёсших основополагающий вклад в развитие математического анализа, теории вероятностей и механики.

¶Династия Бернулли

Семья Бернулли происходила из Антверпена (современная Бельгия), откуда в конце XVI века из-за религиозных преследований испанскими властями её представители эмигрировали в Базель (Швейцария). Наиболее значимые научные достижения династии связаны с тремя поколениями математиков, работавших в XVII–XVIII веках. Всего из семьи вышло более десяти известных учёных, однако ключевыми фигурами считаются братья Якоб и Иоганн, а также сын Иоганна — Даниил.

¶Якоб Бернулли (1655–1705)

Якоб Бернулли, старший из братьев, изучал теологию по настоянию отца, однако самостоятельно занимался математикой, ознакомившись с работами Лейбница по дифференциальному исчислению. Он стал первым, кто систематически применил новое исчисление к решению геометрических и механических задач. С 1687 года занимал кафедру математики Базельского университета.

Среди главных достижений Якоба — работы по теории рядов, вариационному исчислению (задача о брахистохроне) и теории вероятностей. Его труд «Искусство предположений» (Ars Conjectandi, опубликован посмертно в 1713 году) заложил основы теории вероятностей как математической дисциплины. В этой работе сформулирован закон больших чисел — теорема, утверждающая, что частота случайного события при большом числе испытаний приближается к его вероятности. Также Якоб ввёл числа Бернулли — последовательность рациональных чисел, используемых в разложении тригонометрических функций и в теории чисел.

¶Иоганн Бернулли (1667–1748)

Иоганн, младший брат Якоба, также внёс существенный вклад в развитие математического анализа. Он занимал кафедру математики в Гронингене (Нидерланды), а затем, после смерти брата, в Базеле. Иоганн активно развивал дифференциальное и интегральное исчисление, исследовал экспоненциальную функцию, логарифмические и показательные уравнения. Ему принадлежит решение задачи о брахистохроне, которое он опубликовал в 1697 году; эта работа стимулировала развитие вариационного исчисления.

Иоганн вёл обширную переписку с Лейбницем и обучал математике многих учеников, среди которых был Леонард Эйлер — крупнейший математик XVIII века. Вклад Иоганна в механику включает работы по динамике твёрдого тела и теории упругости.

¶Даниил Бернулли (1700–1782)

Даниил, сын Иоганна, стал наиболее известным представителем династии в области физики. Он изучал медицину, но посвятил себя математике и физике. Работал в Санкт-Петербургской академии наук (1725–1733), затем вернулся в Базель, где занимал кафедры анатомии, ботаники и физики.

Главный труд Даниила — «Гидродинамика» (Hydrodynamica, 1738), в которой он сформулировал закон, связывающий давление, скорость и высоту потока идеальной жидкости. Этот закон лёг в основу гидро- и аэродинамики. Кроме того, Даниил внёс вклад в кинетическую теорию газов, теорию вероятностей и теорию дифференциальных уравнений.

¶Закон Бернулли

Закон Бернулли (уравнение Бернулли) — фундаментальное уравнение гидродинамики, устанавливающее связь между скоростью течения жидкости или газа, давлением в потоке и высотой положения точки. Для установившегося течения идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости вдоль линии тока выполняется соотношение:

p + ρv²/2 + ρgh = const,

где p — статическое давление, ρ — плотность жидкости, v — скорость потока, g — ускорение свободного падения, h — высота относительно выбранного уровня отсчёта. Слагаемое ρv²/2 называют динамическим давлением, а ρgh — гидростатическим давлением. Сумма этих трёх величин остаётся постоянной вдоль линии тока.

¶Физический смысл

Следствием закона является то, что при увеличении скорости потока давление в нём уменьшается, и наоборот. Это утверждение часто называют принципом Бернулли. Важно подчеркнуть, что закон справедлив для идеальной жидкости без учёта вязкости и сжимаемости; для реальных жидкостей и газов он выполняется приближённо при малых скоростях и отсутствии значительных потерь энергии на трение.

¶Применение закона Бернулли

Закон Бернулли имеет широкое практическое применение в технике и науке:

• Авиация: подъёмная сила крыла самолёта частично объясняется разностью давлений над и под крылом, возникающей из-за разной скорости обтекания воздуха. Однако современная теория подъёмной силы требует более сложного описания, включающего циркуляцию воздуха и вязкость.
• Трубопроводный транспорт: уравнение используется для расчёта пропускной способности труб, потерь давления и проектирования насосных станций.
• Измерительные приборы: трубка Пито и сопло Вентури применяются для измерения скорости потока жидкости или газа на основе разности давлений, создаваемой изменением скорости.
• Водоснабжение и гидротехника: расчёт истечения жидкости из отверстий, работы сифонов и фонтанов.
• Медицина: принцип Бернулли используется для объяснения некоторых явлений в кровотоке, например, при стенозе (сужении) сосудов.
• Парусный спорт: аэродинамика парусов и киля описывается с использованием уравнения Бернулли.

¶Ограничения применимости

Уравнение Бернулли не учитывает вязкость, теплопроводность и сжимаемость среды, а также нестационарность течения. Для реальных жидкостей и газов, особенно при больших скоростях (сопоставимых со скоростью звука), уравнение требует модификации. В таких случаях применяют обобщённые формы уравнения, включающие потери напора и изменение плотности.

¶Другие значения термина

Помимо династии и закона, термин «Бернулли» встречается в названиях математических объектов, введённых членами семьи:

• Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел, обозначаемая Bₙ, возникающая при разложении в ряд тангенса и других функций. Используются в теории чисел, комбинаторике и при вычислении сумм степеней натуральных чисел.
• Распределение Бернулли — дискретное распределение вероятностей случайной величины, принимающей два значения (например, 0 и 1) с вероятностями p и 1-p. Является основой для биномиального распределения.
• Испытания Бернулли — последовательность независимых испытаний с двумя исходами, каждое из которых проводится в одинаковых условиях. На этой схеме строится биномиальное распределение и закон больших чисел.

¶Значение наследия

Работы семьи Бернулли определили развитие математики и механики на столетия вперёд. Они способствовали становлению математического анализа, теории вероятностей и гидродинамики как самостоятельных наук. Леонард Эйлер, ученик Иоганна Бернулли, развил и систематизировал их идеи, создав основы современной механики сплошных сред. Закон Бернулли остаётся одним из базовых уравнений физики, изучаемых в курсах гидравлики и аэродинамики во всём мире.