Леопольд Лёвенгейм

Леопольд Лёвенгейм (нем. Leopold Löwenheim; 26 июня 1878, Крефельд, Германская империя — 5 мая 1957, Берлин, ФРГ) — немецкий математик и логик, один из основателей современной математической логики. Наиболее известен как автор теоремы Лёвенгейма — Сколема, фундаментального результата теории моделей, и как один из первых исследователей, применивших теоретико-множественные методы к логике предикатов.

Биография

Ранние годы и образование

Леопольд Лёвенгейм родился 26 июня 1878 года в Крефельде (ныне земля Северный Рейн-Вестфалия) в семье юриста. После окончания гимназии в 1896 году поступил в Берлинский университет имени Фридриха Вильгельма (ныне Университет Гумбольдта). Изучал математику, физику и философию под руководством таких учёных, как Фердинанд фон Линдеман, Герман Шварц и Пауль Дюбуа-Реймон. В 1901 году защитил докторскую диссертацию по математике, посвящённую теории дифференциальных уравнений, под руководством Фердинанда фон Линдемана.

Профессиональная деятельность

После защиты диссертации Лёвенгейм работал учителем математики и физики в гимназиях Берлина (в частности, в Берлинской гимназии имени Фридриха Вердера). В 1910 году опубликовал свою первую работу по математической логике, посвящённую проблемам разрешимости логических формул. В 1915 году вышла его знаменитая статья «О возможностях в исчислении относительных понятий» (нем. «Über Möglichkeiten im Relativkalkül»), в которой была сформулирована теорема, позже названная его именем.

В 1920-е годы Лёвенгейм продолжал исследования в области логики и теории множеств, но его работа была прервана приходом к власти нацистов. В 1935 году, из-за своего еврейского происхождения по материнской линии, он был уволен с должности учителя в соответствии с Нюрнбергскими расовыми законами. Лёвенгейм остался в Германии, но был вынужден прекратить публикацию научных работ. В 1943 году его дом в Берлине был разрушен в результате бомбардировки, и он потерял большую часть своих рукописей и библиотеки.

Послевоенные годы

После окончания Второй мировой войны Лёвенгейм вернулся к преподаванию. В 1946 году, в возрасте 68 лет, он был восстановлен в должности учителя математики в Берлине. В 1949 году вышел на пенсию. Последние годы жизни провёл в Западном Берлине, где скончался 5 мая 1957 года.

Научный вклад

Теорема Лёвенгейма — Сколема

Основной научный результат Лёвенгейма — теорема, опубликованная в 1915 году. Она утверждает, что если формула логики первого порядка (или конечное множество формул) имеет модель, то она имеет модель не более чем счётной мощности. В 1920 году норвежский математик Торальф Сколем обобщил этот результат, доказав, что любая счётная теория имеет модель мощности не более чем счётной. В современной формулировке теорема известна как теорема Лёвенгейма — Сколема о понижении мощности.

Этот результат имел фундаментальные последствия для математической логики и теории моделей. В частности, он привёл к парадоксу Сколема, который показывает, что любая аксиоматическая теория множеств (например, теория Цермело — Френкеля) имеет счётную модель, несмотря на то, что в ней доказывается существование несчётных множеств. Это открытие поставило под сомнение интуитивное понимание мощности множеств и стимулировало развитие теории моделей.

Работы по исчислению относительных понятий

Лёвенгейм внёс вклад в развитие алгебры логики, в частности, в исчисление относительных понятий (нем. Relativkalkül), разработанное Эрнстом Шрёдером. Он исследовал проблемы разрешимости для различных классов логических формул и показал, что для некоторых классов (например, для формул с одноместными предикатами) проблема разрешимости существует, в то время как для общего случая логики первого порядка она неразрешима (что позже было доказано Алонзо Чёрчем).

Вклад в теорию моделей

Лёвенгейм одним из первых применил теоретико-множественные методы к анализу логических систем. Его работы заложили основы теории моделей — раздела математической логики, изучающего соотношения между формальными языками и их интерпретациями (моделями). В частности, он ввёл понятие подмодели и доказал ряд теорем о сохранении истинности формул при переходе к подмоделям.

Публикации

Основные научные работы Лёвенгейма были опубликованы в период с 1910 по 1915 год. Наиболее значимые из них:

• «Über die Auflösung von Gleichungen im logischen Gebietekalkül» (1910) — о решении уравнений в логическом исчислении классов.
• «Über Möglichkeiten im Relativkalkül» (1915) — статья, содержащая формулировку теоремы Лёвенгейма — Сколема.
• «Über die Grundlagen der Logik und der Mathematik» (1920) — о основаниях логики и математики.

После 1935 года Лёвенгейм не публиковал научных работ из-за политических преследований. Его послевоенные рукописи, посвящённые логике и теории множеств, остались неопубликованными и были утрачены.

Признание и наследие

При жизни Лёвенгейм не получил широкого признания, так как его работа была прервана политическими обстоятельствами. Однако после смерти его вклад был оценён по достоинству. Имя Леопольда Лёвенгейма носит теорема Лёвенгейма — Сколема, а также класс моделей, известный как «модели Лёвенгейма». Его работы считаются одними из первых в области теории моделей и оказали влияние на таких учёных, как Альфред Тарский, Курт Гёдель и Уиллард ван Орман Куайн.

В 1990-е годы интерес к личности Лёвенгейма возрос в связи с изучением истории математической логики в Германии в период нацизма. В 1998 году в Крефельде была установлена мемориальная доска в его честь.

Интересные факты

• Лёвенгейм был одним из первых, кто использовал символы для обозначения кванторов (∃ и ∀) в современном виде, хотя их стандартизация произошла позже благодаря работам Чарльза Пирса и Джузеппе Пеано.
• В 1915 году, публикуя свою главную статью, Лёвенгейм использовал обозначения, близкие к алгебраическим, что было характерно для школы Эрнста Шрёдера.
• После увольнения в 1935 году Лёвенгейм некоторое время работал в частной школе для еврейских детей, которая была закрыта в 1938 году после «Хрустальной ночи».
• В 1945 году, после освобождения Берлина советскими войсками, Лёвенгейм был допрошен как потенциальный свидетель по делу о нацистских преступлениях, но не располагал существенной информацией.

Источники

• Leopold Löwenheim: Leben und Werk // Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1978.
• B. Dreben, W. Goldfarb. The Decision Problem: Solvable Classes of Quantificational Formulas. — Addison-Wesley, 1979.
• J. van Heijenoort (ed.). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. — Harvard University Press, 1967.
• H. D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. Mathematical Logic. — Springer, 1994.