Линейные стационарные системы

Линейная стационарная система (англ. Linear Time-Invariant system, LTI-система) — это математическая модель динамической системы, поведение которой описывается линейными дифференциальными или разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Основными свойствами таких систем являются линейность (принцип суперпозиции) и стационарность (инвариантность во времени: параметры системы не изменяются с течением времени). Линейные стационарные системы составляют фундаментальный класс моделей в теории управления, обработке сигналов, электротехнике, механике и других инженерных и физических дисциплинах.

Основные свойства

Линейность

Линейность означает, что реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности (свойство аддитивности), а реакция на масштабированное воздействие равна масштабированной реакции на исходное воздействие (свойство однородности). Формально, для любых входных сигналов \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\) и любых констант \(a\) и \(b\) выполняется:

\[ T\{a x_1(t) + b x_2(t)\} = a T\{x_1(t)\} + b T\{x_2(t)\}, \]

где \(T\{\cdot\}\) — оператор системы.

Стационарность (инвариантность во времени)

Стационарность означает, что свойства системы не изменяются со временем. Если на вход системы подать сигнал \(x(t)\), то выходной сигнал будет \(y(t)\). Если тот же сигнал подать с задержкой на время \(\tau\), то выходной сигнал будет таким же, но также сдвинутым во времени на \(\tau\):

\[ T\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau). \]

Это свойство позволяет применять к анализу таких систем методы преобразования Фурье и Лапласа, поскольку базисные функции (экспоненты) являются собственными функциями LTI-систем.

Математическое описание

Дифференциальные уравнения

Для непрерывных линейных стационарных систем (Continuous-Time LTI, CT-LTI) поведение описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

\[ a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m x(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} x(t)}{dt^{m-1}} + \dots + b_0 x(t), \]

где \(x(t)\) — входной сигнал, \(y(t)\) — выходной сигнал, \(a_i\) и \(b_j\) — постоянные коэффициенты.

Разностные уравнения

Для дискретных линейных стационарных систем (Discrete-Time LTI, DT-LTI) используется линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами:

\[ \sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^{M} b_l x[n-l], \]

где \(x[n]\) — дискретный входной сигнал, \(y[n]\) — дискретный выходной сигнал.

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика \(h(t)\) (для непрерывных систем) или \(h[n]\) (для дискретных систем) — это реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию Дирака \(\delta(t)\) или единичный импульс Кронекера \(\delta[n]\)). Для LTI-систем импульсная характеристика полностью описывает поведение системы: выходной сигнал является сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой:

\[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = (x h)(t), \] \[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] = (x h)[n]. \]

Передаточная функция

Передаточная функция \(H(s)\) (для непрерывных систем) или \(H(z)\) (для дискретных систем) — это преобразование Лапласа или Z-преобразование импульсной характеристики при нулевых начальных условиях. Она представляет собой отношение преобразованного выходного сигнала к преобразованному входному сигналу:

\[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \dots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_0}, \] \[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{l=0}^{M} b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}}. \]

Передаточная функция является рациональной функцией комплексной переменной. Её нули (корни числителя) и полюса (корни знаменателя) определяют устойчивость и частотные характеристики системы.

Частотная характеристика

Частотная характеристика \(H(j\omega)\) (для непрерывных систем) или \(H(e^{j\omega})\) (для дискретных систем) — это значение передаточной функции на мнимой оси (или на единичной окружности в Z-плоскости). Она описывает, как система изменяет амплитуду и фазу гармонических сигналов различной частоты. Частотная характеристика представляется в виде амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Классификация

По типу сигнала

• Непрерывные LTI-системы (CT-LTI): оперируют с непрерывными сигналами; описываются дифференциальными уравнениями.
• Дискретные LTI-системы (DT-LTI): оперируют с дискретными сигналами (последовательностями); описываются разностными уравнениями.

По устойчивости

• Устойчивые системы: для любого ограниченного входного сигнала выходной сигнал также ограничен (BIBO-устойчивость). Для LTI-системы это эквивалентно абсолютной интегрируемости (или суммируемости) импульсной характеристики: \(\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty\) или \(\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| < \infty\). В терминах передаточной функции — все полюса должны лежать в левой полуплоскости (для непрерывных систем) или внутри единичной окружности (для дискретных систем).
• Неустойчивые системы: нарушают условие BIBO-устойчивости.
• Маргинально устойчивые системы: находятся на границе устойчивости (например, полюса на мнимой оси для непрерывных систем или на единичной окружности для дискретных систем).

По фазе

• Минимально-фазовые системы: все нули и полюса передаточной функции лежат в левой полуплоскости (для непрерывных) или внутри единичной окружности (для дискретных). Обладают минимальным фазовым сдвигом для заданной АЧХ.
• Неминимально-фазовые системы: имеют нули в правой полуплоскости (для непрерывных) или вне единичной окружности (для дискретных). Фазовый сдвиг таких систем больше, чем у минимально-фазовых при той же АЧХ.

Примеры линейных стационарных систем

• Электрические цепи: RC-цепочка, RLC-контур, усилители (в линейном режиме), фильтры (нижних частот, верхних частот, полосовые).
• Механические системы: пружинно-массовый демпфер, маятник (при малых углах отклонения), колебательный контур.
• Системы управления: регуляторы (ПИД-регуляторы в линейной зоне), следящие системы, автопилоты (при малых отклонениях от заданного режима).
• Обработка сигналов: цифровые фильтры (КИХ-фильтры, БИХ-фильтры), эквалайзеры, системы связи (модуляторы в линейном режиме).

Критика и ограничения

Модель линейной стационарной системы является идеализацией. В реальных системах практически всегда присутствуют нелинейности (насыщение усилителей, трение в механизмах, гистерезис) и нестационарность (старение компонентов, изменение температуры). Однако для многих практических задач, особенно при малых отклонениях от рабочей точки, LTI-модель даёт адекватное описание и позволяет использовать мощный математический аппарат (преобразования Фурье, Лапласа, Z-преобразование, теорию свертки). При больших отклонениях или в системах с существенными нелинейностями (например, в цифровых системах с квантованием) применение LTI-модели может приводить к значительным ошибкам.

Источники

1. Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. — М.: Техносфера, 2006.
2. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
3. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978.
4. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971.