Мера Хаара

Мера Хаара — это мера на локально компактной топологической группе, которая является инвариантной относительно левых (или правых) сдвигов. Она является фундаментальным инструментом гармонического анализа на группах и позволяет обобщить понятия интегрирования, свёртки и преобразования Фурье на произвольные локально компактные группы. Существование и единственность (с точностью до постоянного множителя) меры Хаара для любой локально компактной группы было доказано в 1933 году венгерским математиком Альфредом Хааром.

История

Концепция инвариантной меры на группах восходит к работам Анри Лебега и Иоганна фон Неймана, которые изучали инвариантные интегралы на компактных группах. В 1933 году Альфред Хаар опубликовал статью, в которой доказал существование левоинвариантной меры на любой локально компактной топологической группе, удовлетворяющей второй аксиоме счётности. Позднее, в 1940-х годах, Андре Вейль обобщил результат Хаара, сняв требование счётности, и разработал более строгую теорию, известную сегодня как интеграл Хаара. В 1950-х годах Джон фон Нейман и другие математики применили меру Хаара для доказательства эргодических теорем и построения теории представлений групп.

Определение и основные свойства

Пусть \( G \) — локально компактная топологическая группа. Левоинвариантная мера Хаара — это мера \(\mu\) на борелевской \(\sigma\)-алгебре группы \(G\), удовлетворяющая следующим условиям:

1. Инвариантность относительно левых сдвигов: для любого борелевского множества \(E \subset G\) и любого элемента \(g \in G\) выполняется \(\mu(gE) = \mu(E)\), где \(gE = \{gh : h \in E\}\).
2. Локальная конечность: для каждой точки \(x \in G\) существует открытая окрестность \(U\) с конечной мерой \(\mu(U) < \infty\).
3. Внутренняя регулярность: мера \(\mu\) является внутренне регулярной, то есть для любого борелевского множества \(E\) выполняется \(\mu(E) = \sup\{\mu(K) : K \subset E, K \text{ компактно}\}\).
4. Внешняя регулярность: мера \(\mu\) является внешне регулярной, то есть для любого борелевского множества \(E\) выполняется \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : U \supset E, U \text{ открыто}\}\).

Аналогично определяется правоинвариантная мера Хаара, инвариантная относительно правых сдвигов: \(\mu(Eg) = \mu(E)\).

Единственность

Мера Хаара единственна с точностью до умножения на положительную константу. Если \(\mu_1\) и \(\mu_2\) — две левоинвариантные меры Хаара на одной и той же группе, то существует константа \(c > 0\) такая, что \(\mu_1 = c \mu_2\).

Модулярная функция

Для локально компактной группы \(G\) левоинвариантная мера Хаара \(\mu\) не обязательно является правоинвариантной. Связь между левым и правым сдвигами описывается модулярной функцией \(\Delta : G \to (0, \infty)\), определяемой равенством: \[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E) \] для любого борелевского множества \(E\) и любого \(g \in G\). Функция \(\Delta\) является непрерывным гомоморфизмом из \(G\) в мультипликативную группу положительных действительных чисел. Группа называется унимодулярной, если \(\Delta(g) = 1\) для всех \(g \in G\). Примеры унимодулярных групп: все компактные группы, абелевы группы, группы Ли с нулевым следом (например, \(SL(n, \mathbb{R})\)).

Примеры

Дискретные группы

Если \(G\) — дискретная группа, то мера Хаара совпадает со считающей мерой: \(\mu(E) = |E|\). Она инвариантна как слева, так и справа.

Компактные группы

Для компактной группы \(G\) мера Хаара может быть нормирована так, чтобы \(\mu(G) = 1\). Такая нормированная мера называется вероятностной мерой Хаара. Пример: на группе \(SO(3)\) — группе вращений трёхмерного пространства — мера Хаара совпадает с нормированной мерой, индуцированной метрикой Киллинга.

Абелевы группы

На аддитивной группе \(\mathbb{R}^n\) мера Хаара совпадает с мерой Лебега. На единичной окружности \(\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}\) мера Хаара — это нормированная мера Лебега: \(\mu([a,b]) = b-a\) для \(0 \le a < b \le 1\).

Группы Ли

Для группы Ли \(G\) мера Хаара может быть выражена через левоинвариантную дифференциальную форму максимальной степени (форму объёма). Например, на группе \(GL(n, \mathbb{R})\) — группе обратимых матриц — мера Хаара задаётся как: \[ d\mu(g) = \frac{1}{|\det(g)|^n} \prod_{i,j} dg_{ij}, \] где \(dg_{ij}\) — мера Лебега на элементах матрицы.

Применение

Гармонический анализ

Мера Хаара является основой для построения преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах. Для неабелевых групп она используется в теории представлений и некоммутативном гармоническом анализе. Например, на компактных группах разложение функций в ряд по матричным элементам неприводимых представлений (теорема Питера — Вейля) использует интегрирование по мере Хаара.

Теория вероятностей

В теории вероятностей мера Хаара используется для определения случайных элементов на группах. Например, случайная матрица, распределённая по мере Хаара на ортогональной группе \(O(n)\), называется случайной ортогональной матрицей и изучается в теории случайных матриц.

Эргодическая теория

Мера Хаара является инвариантной мерой для действия группы на себе сдвигами. Это позволяет применять эргодические теоремы к изучению динамических систем на группах.

Теория чисел

В теории чисел мера Хаара на адельной группе используется для построения глобальных полей и в программе Ленглендса. Например, интегралы по аделям с мерой Хаара применяются в аналитической теории чисел для изучения L-функций.

Интересные факты

• Мера Хаара существует не для всех топологических групп: необходимо условие локальной компактности. Например, на бесконечномерных гильбертовых пространствах (как аддитивных группах) не существует инвариантной меры, аналогичной мере Лебега.
• В 1933 году Альфред Хаар опубликовал свою работу на немецком языке в журнале Mathematische Annalen. Доказательство существования меры Хаара для произвольных локально компактных групп было завершено Андре Вейлем в 1940 году.
• Мера Хаара на компактных группах является единственной вероятностной мерой, инвариантной относительно сдвигов. Это свойство используется в квантовой механике для усреднения по группам симметрий.
• Для некоммутативных групп мера Хаара может быть несимметричной: левоинвариантная и правоинвариантная меры могут отличаться на модулярную функцию. Например, на группе треугольных матриц \(T(n, \mathbb{R})\) модулярная функция нетривиальна.

Источники

• Haar, A. (1933). "Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen". Mathematische Annalen, 108(1), 189–205.
• Weil, A. (1940). L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Hermann.
• Folland, G. B. (1995). A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press.
• Hewitt, E., & Ross, K. A. (1963). Abstract Harmonic Analysis, Vol. 1. Springer.
• Rudin, W. (1962). Fourier Analysis on Groups. Interscience Publishers.