Мера Лебега: определение и свойства¶

Мера Лебега — это математическое понятие в теории меры и теории функций, обобщающее понятия длины, площади и объёма на более широкий класс множеств, чем это допускают классические подходы (например, мера Жордана). Мера Лебега является основой интеграла Лебега и широко используется в математическом анализе, теории вероятностей и функциональном анализе.

¶Определение

Строгое построение меры Лебега начинается с задания меры на полукольце промежутков. Для промежутка \( I = (a, b) \) (или отрезка, полуинтервала) его длина полагается равной \( b - a \). Затем эта мера продолжается на класс множеств, называемых измеримыми по Лебегу. Совокупность таких множеств образует σ-алгебру, а сама мера \( \lambda \) удовлетворяет свойствам:

• Счётная аддитивность (σ-аддитивность): если \( E_1, E_2, \dots \) — попарно непересекающиеся измеримые множества, то

\[ \lambda\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \lambda(E_k). \]

• Инвариантность относительно сдвигов: для любого измеримого множества \( E \) и любого \( x \in \mathbb{R} \) выполняется \( \lambda(E + x) = \lambda(E) \).
• Нормировка: \( \lambda([0, 1]) = 1 \).

Существует несколько эквивалентных способов определения меры Лебега. Наиболее распространённый — через внешнюю меру, которая для произвольного множества \( A \subset \mathbb{R} \) определяется как инфимум сумм длин счётных покрытий интервалами. Множество называется измеримым, если оно «хорошо разрезает» любое другое множество (критерий Каратеодори).

¶Свойства

¶Полнота

Мера Лебега является полной: если \( \lambda(E) = 0 \), то всякое подмножество \( E \) также измеримо и имеет меру нуль. Это свойство важно для теории интеграла, поскольку позволяет игнорировать множества меры нуль.

¶Регулярность

Мера Лебега регулярна: мера любого измеримого множества может быть сколь угодно точно приближена снизу мерой компактных подмножеств и сверху мерой открытых надмножеств. Это свойство используется при доказательстве теорем о плотности и в теории приближений.

¶Связь с борелевскими множествами

Каждое борелевское множество (полученное из открытых множеств счётными операциями объединения, пересечения и дополнения) измеримо по Лебегу. Обратное неверно: существуют измеримые множества, не являющиеся борелевскими. Однако любое измеримое множество отличается от некоторого борелевского на множество меры нуль.

¶Неизмеримые множества

С использованием аксиомы выбора можно построить множества, не измеримые по Лебегу (например, множества Витали). Существование таких множеств показывает, что σ-алгебра измеримых множеств строго меньше булеана вещественной прямой.

¶Многомерный случай

Мера Лебега естественно обобщается на пространство \( \mathbb{R}^n \). В этом случае мера промежутка (прямоугольника) равна произведению длин его сторон, а определение через внешнюю меру и критерий Каратеодори переносится без существенных изменений. Многомерная мера Лебега инвариантна относительно движений (сдвигов, поворотов, отражений) и однородна относительно гомотетий: \( \lambda(cE) = |c|^n \lambda(E) \).

¶Связь с интегралом Лебега

Интеграл Лебега строится на основе меры Лебега. Для измеримой неотрицательной функции \( f \) интеграл определяется как предел интегралов от простых функций (конечных линейных комбинаций индикаторов измеримых множеств). Переход к интегралу Лебега позволил расширить класс интегрируемых функций по сравнению с интегралом Римана и получить более мощные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла (например, теорему Лебега о мажорируемой сходимости).

¶Применения

Мера Лебега является стандартной мерой в:

• теории вероятностей — для моделирования непрерывных случайных величин (равномерное, нормальное распределения задаются плотностями относительно меры Лебега);
• функциональном анализе — при построении пространств \( L^p \);
• теории динамических систем — для изучения инвариантных мер и эргодических свойств;
• математической физике — при формализации понятий массы, заряда и энергии в континуальных моделях.

¶Ограничения и обобщения

Мера Лебега не является σ-конечной на бесконечномерных пространствах, что привело к созданию альтернативных конструкций (например, меры Винера в теории случайных процессов). Кроме того, не существует меры, определённой на всех подмножествах \( \mathbb{R} \), которая была бы счётно-аддитивной, инвариантной относительно сдвигов и нормированной, — это следствие парадокса Банаха — Тарского и существования неизмеримых множеств.

¶См. также

• Интеграл Лебега
• Теория меры
• Мера Хаара (обобщение меры Лебега на локально компактные группы)

¶Источники

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.
• Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976.