Теорема как математическое утверждение¶

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается посредством логического доказательства на основе ранее принятых аксиом, определений и уже доказанных утверждений. Теорема представляет собой основную форму организации математического знания: именно в виде теорем формулируются наиболее значимые результаты в геометрии, алгебре, анализе, теории чисел, логике и других разделах математики. В отличие от аксиомы, принимаемой без доказательства, теорема требует обоснования, которое связывает её с исходными положениями теории.

¶Структура теоремы

Логически теорема обычно имеет форму импликации: «если A, то B», где A называется условием (посылкой), а B — заключением. Например, в теореме Пифагора условие — прямоугольность треугольника, заключение — равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Полное доказательство теоремы включает:

• формулировку условия и заключения;
• цепочку логических выводов, каждый шаг которой опирается на аксиому, определение, ранее доказанную теорему или правило вывода;
• итоговое утверждение заключения.

Утверждение, обратное данному (если B, то A), не всегда истинно и требует отдельного доказательства. Утверждение, противоположное обратному (если не B, то не A), логически равносильно исходной теореме.

¶Виды теорем и родственные понятия

В математике различают несколько типов утверждений:

Деление на теоремы, леммы и следствия в значительной мере условно и отражает роль утверждения в изложении теории, а не его логический статус. Некоторые леммы (например, лемма Гаусса) приобрели самостоятельное значение.

¶Способы доказательства

Методы доказательства теорем разнообразны:

• Прямое доказательство — последовательный вывод заключения из условия.
• Доказательство от противного — предположение ложности заключения приводит к противоречию.
• Метод математической индукции — применяется для утверждений о натуральных числах.
• Конструктивное доказательство — построение объекта, существование которого утверждается.
• Доказательство по случаям — разбор всех возможных ситуаций.

В XX веке появились доказательства, требующие машинной проверки: теорема о четырёх красках (1976) была доказана с существенным использованием компьютера, что вызвало дискуссию о том, что считать корректным доказательством.

¶История

Понятие теоремы восходит к античной Греции. Фалес Милетский (VI век до н. э.) считается первым, кто начал доказывать геометрические утверждения. Систематическое изложение математики как совокупности доказанных теорем дал Евклид в «Началах» (около III века до н. э.): из пяти постулатов и общих понятий он вывел сотни теорем геометрии. Эта дедуктивная модель стала образцом научного знания на два тысячелетия.

В Новое время развитие алгебры, анализа и теории вероятностей породило новые классы теорем. В XIX–XX веках усилиями Давида Гильберта, Джузеппе Пеано и других математиков была построена формальная логика, позволившая описывать теоремы и их доказательства на строгом символическом языке. Теоремы Гёделя о неполноте (1931) показали принципиальные ограничения любой формальной системы: в достаточно богатой теории существуют истинные, но недоказуемые утверждения.

¶Знаменитые теоремы

Среди наиболее известных:

• Теорема Пифагора — фундамент евклидовой геометрии и тригонометрии.
• Великая теорема Ферма — сформулирована в 1637 году, доказана Эндрю Уайлсом в 1994 году.
• Теорема о бесконечности множества простых чисел — доказана Евклидом.
• Основная теорема алгебры — о существовании корня у многочлена.
• Теорема Коши — основа математического анализа.
• Теорема Гаусса — Маркова — базовая в статистике.

¶Значение

Теоремы образуют каркас математических теорий и служат инструментом получения новых результатов: доказанная теорема становится средством для доказательства последующих. За пределами математики теоретический метод применяется в физике (теоремы сохранения), экономике (теорема Коуза), информатике (теоремы о сложности вычислений) и лингвистике. В российской математической школе — от Николая Лобачевского до Андрея Колмогорова и Григория Перельмана — доказательство теорем традиционно рассматривается как высшая форма научного результата.

¶Критика и ограничения

Критика теоретического подхода связана прежде всего с проблемой оснований: любая система аксиом опирается на недоказуемые допущения, а теоремы Гёделя устанавливают границы формализации. Кроме того, рост сложности доказательств (например, классификации конечных простых групп) делает их проверку коллективной и растянутой на десятилетия, что ставит вопрос о надёжности математического знания.

Источники: «Начала» Евклида; Д. Гильберт, «Основания геометрии»; Н. Бурбаки, «Теория множеств»; К. Гёдель, «О формально неразрешимых предложениях»; энциклопедические словари по математике.