Метод флюксий

Метод флюксий — это исторический термин, обозначающий математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, разработанный английским учёным Исааком Ньютоном в 1660—1670-х годах. Метод флюксий стал одной из первых систематических форм анализа бесконечно малых, наряду с «исчислением дифференциалов» Готфрида Вильгельма Лейбница. В основе метода лежит понятие флюксии — скорости изменения непрерывной величины (флюэнты) во времени.

Исторический контекст и создание

Предпосылки

К середине XVII века математика столкнулась с рядом задач, которые не поддавались решению методами классической геометрии и алгебры: нахождение касательных к кривым, вычисление площадей и объёмов фигур, определение максимумов и минимумов функций, а также задачи механики (мгновенная скорость, ускорение). Работы Рене Декарта, Пьера Ферма, Джона Валлиса и Бонавентуры Кавальери подготовили почву для создания общего метода анализа бесконечно малых.

Разработка Ньютоном

Исаак Ньютон начал работу над методом флюксий в середине 1660-х годов, в период своих «чумных лет» (1665—1666), когда он, уединившись в Вулсторпе, сделал ряд фундаментальных открытий. Первые рукописи, содержащие идеи метода, относятся к 1665 году. Однако Ньютон не спешил публиковать свои результаты. Первое систематическое изложение метода появилось в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (лат. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas), написанном в 1669 году и распространённом среди нескольких коллег. Полное и завершённое описание метода было дано в работе «Метод флюксий и бесконечных рядов» (лат. Methodus fluxionum et serierum infinitarum), написанной в 1671 году, но опубликованной посмертно, в 1736 году на английском языке.

Основные сочинения Ньютона по методу флюксий:

• De analysi (1669, опубликована в 1711);
• Methodus fluxionum (1671, опубликована в 1736);
• Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) — использует метод геометрически, без явного применения флюксий;
• De quadratura curvarum (1676, опубликована в 1704).

Приоритетный спор с Лейбницем

Независимо от Ньютона, в 1670—1680-х годах Готфрид Лейбниц разработал собственное исчисление бесконечно малых — дифференциальное и интегральное исчисление, основанное на понятиях дифференциала и интеграла. Лейбниц опубликовал свои результаты в 1684 году, на несколько десятилетий раньше Ньютона. Это привело к ожесточённому приоритетному спору, длившемуся до конца жизни обоих учёных. В настоящее время признаётся, что оба исследователя пришли к открытию независимо, но Ньютон сделал это раньше, а Лейбниц первым опубликовал и создал более удобную символику.

Основные понятия

Флюэнта и флюксия

Ньютон рассматривал математические величины (отрезки, площади, координаты) как непрерывно изменяющиеся во времени. Такая переменная величина называлась флюэнтой (лат. fluens — текущий). Скорость изменения флюэнты в данный момент времени называлась флюксией (лат. fluxio — течение). Обозначались флюэнты буквами \( x, y, z \), а их флюксии — теми же буквами с точкой наверху: \( \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \).

Например, если точка движется по прямой и её координата \( x \) меняется со временем, то \( \dot{x} \) — это её мгновенная скорость. В современной терминологии флюксия соответствует производной по времени.

Момент

Бесконечно малый промежуток времени Ньютон называл моментом и обозначал через \( o \). За этот момент флюэнта \( x \) получает бесконечно малое приращение, равное \( \dot{x} o \). Таким образом, \( \dot{x} o \) — это дифференциал флюэнты (в современных обозначениях \( dx \)).

Флюксии высших порядков

Ньютон ввёл также флюксии от флюксий — вторые, третьи и т.д. производные. Они обозначались как \( \ddot{x}, \dddot{x} \) и т.д. Это позволяло описывать ускорение и другие высшие скорости изменения.

Алгоритм метода

Метод флюксий решал две основные задачи, которые в современном исчислении соответствуют дифференцированию и интегрированию:

1. Прямая задача (дифференцирование): по заданному соотношению между флюэнтами найти соотношение между их флюксиями. Ньютон сформулировал правила дифференцирования суммы, произведения, частного, степени (в том числе дробной) и сложной функции.
2. Обратная задача (интегрирование): по заданному соотношению между флюксиями найти соотношение между флюэнтами. Ньютон решал её как задачу нахождения первообразной, а также с помощью разложения в бесконечные ряды.

Пример прямой задачи

Пусть дано уравнение \( x^3 — ax^2 + axy — y^3 = 0 \). Ньютон предлагал подставить \( x + \dot{x}o \) вместо \( x \) и \( y + \dot{y}o \) вместо \( y \), раскрыть скобки, отбросить члены, не содержащие \( o \) (они взаимно уничтожаются с исходным уравнением), и разделить на \( o \). В результате получается уравнение, связывающее \( \dot{x} \) и \( \dot{y} \). В современных обозначениях это эквивалентно неявному дифференцированию.

Символика и обозначения

Ньютон использовал собственную систему обозначений, которая отличалась от лейбницевской. Основные обозначения Ньютона:

Символика Ньютона оказалась менее удобной для многомерного анализа и операций с частными производными, чем обозначения Лейбница (\( \frac{dy}{dx}, \int y \, dx \)). В результате, несмотря на приоритет в открытии, именно лейбницевская система обозначений получила повсеместное распространение в континентальной Европе и впоследствии во всём мире. В англоязычных странах обозначения Ньютона использовались до начала XIX века, но затем были вытеснены лейбницевскими.

Применение в «Началах»

В своём главном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Ньютон широко использовал идеи метода флюксий, но изложил их на геометрическом языке, избегая явных алгебраических обозначений и бесконечно малых. Это было сделано для большей строгости и убедительности. Тем не менее, многие теоремы и доказательства «Начал» (например, вычисление силы тяготения, описание движения планет, вывод законов Кеплера) основаны на рассуждениях, эквивалентных дифференцированию и интегрированию.

Наиболее известное применение — вывод закона всемирного тяготения и объяснение эллиптических орбит планет. Ньютон использовал флюксии для вычисления мгновенной скорости и ускорения небесных тел, а также для нахождения площадей, описываемых радиус-вектором (второй закон Кеплера).

Влияние и значение

Вклад в математику

Метод флюксий стал первым систематическим изложением основ математического анализа. Ньютон:

• сформулировал основную теорему анализа (связь между дифференцированием и интегрированием);
• разработал правила дифференцирования элементарных функций;
• применил разложение в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений;
• заложил основы вариационного исчисления (задача о брахистохроне).

Влияние на науку

Метод флюксий стал мощным инструментом физики и астрономии. С его помощью Ньютон:

• математически обосновал законы Кеплера;
• вывел закон всемирного тяготения;
• решил задачи небесной механики (движение Луны, возмущения орбит);
• исследовал сопротивление среды движению тел.

Историческое значение

Несмотря на то, что впоследствии метод флюксий был вытеснен более удобным исчислением Лейбница, его роль в истории математики огромна. Ньютон первым создал работающий аппарат для анализа непрерывных процессов, что позволило перейти от статической геометрии древних к динамическому описанию природы. Метод флюксий стал основой для развития классического анализа в Англии (работы Котса, Маклорена, Тейлора) и оказал влияние на математиков континентальной Европы (Эйлер, Лагранж).

Критика и ограничения

Проблема строгости

Метод флюксий, как и раннее исчисление Лейбница, страдал от недостаточной логической строгости. Понятие «бесконечно малой величины» (момента \( o \)) было нечётким. Ньютон сам признавал, что «моменты» — это не реальные числа, а «исчезающие» величины. В своей работе «De quadratura curvarum» он попытался обойти проблему, используя «первые и последние отношения» (пределы), но полного обоснования не дал.

Критики (например, Джордж Беркли в трактате «Аналитик», 1734) указывали на логические противоречия: сначала величины считаются ненулевыми (чтобы разделить на них), а затем приравниваются к нулю. Этот парадокс («нечувствительные величины») был разрешён лишь в XIX веке с введением строгой теории пределов Огюстеном Луи Коши и Карлом Вейерштрассом.

Ограниченность обозначений

Символика Ньютона была плохо приспособлена для работы с функциями нескольких переменных и частными производными. Это затрудняло развитие многомерного анализа и уравнений математической физики в Англии на протяжении почти столетия, пока британские математики не перешли на лейбницевские обозначения (так называемая «аналитическая революция» начала XIX века, связанная с деятельностью Кембриджской аналитической школы — Джордж Пикок, Чарльз Бэббидж, Джон Гершель).

Сравнение с исчислением Лейбница

Источники

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.: Наука, 1989.
2. Ньютон И. Метод флюксий и бесконечных рядов (пер. с лат.). — В кн.: Ньютон И. Математические работы. — М.: ОНТИ, 1937.
3. Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.
5. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984.
6. Башмакова И. Г. Становление и развитие математического анализа. — В кн.: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 2. — М.: Наука, 1970.
7. Веселовский И. Н. Очерки по истории математики. — М.: МЦНМО, 2010.