Principia Mathematica

Principia Mathematica — трёхтомный трактат по основаниям математики, опубликованный в 1910–1913 годах британскими философами и математиками Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом. Работа является попыткой сведения всей математики к логике, что стало кульминацией программы логицизма, и оказала огромное влияние на развитие математической логики, философии математики и теоретической информатики.

История создания

В конце XIX века математика переживала кризис оснований, вызванный открытием парадоксов в теории множеств (например, парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти). Стало ясно, что интуитивно понятная теория множеств Георга Кантора противоречива. Бертран Рассел, столкнувшись с собственным парадоксом (множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента), пришёл к выводу, что для спасения математики требуется формальная система, лишённая внутренних противоречий.

Совместная работа Уайтхеда и Рассела началась в 1900 году. Первоначально они планировали написать второй том работы Уайтхеда «A Treatise on Universal Algebra», но проект перерос в самостоятельный труд, занявший десять лет. Издание книги было сопряжено с финансовыми трудностями: ни один академический издатель не соглашался печатать заведомо убыточный труд. В итоге проект спасло финансирование от Королевского общества и Кембриджского университета.

Первый том был опубликован в 1910 году, второй — в 1912, третий — в 1913. Планировавшийся четвёртый том, посвящённый основаниям геометрии, так и не был написан.

Содержание и структура

Трактат состоит из примерно 2000 страниц, содержащих формальные доказательства теорем классической математики, исходя из сугубо логических аксиом и правил вывода.

Система символов

Основным нововведением стала расширенная система логической нотации, которая позволяла записывать сложнейшие утверждения без двусмысленностей естественного языка. Рассел и Уайтхед ввели множество новых символов, некоторые из которых (например, точка для конъюнкции, тильда для отрицания) стали стандартом в логике XX века. Другие (например, скобки, обозначаемые индексами чёрточек) оказались слишком громоздкими и не прижились.

Теория типов

Центральным средством устранения парадоксов стала теория разветвлённых типов. Согласно ей, математические объекты принадлежат иерархии уровней (типов): 0-й тип (индивиды), 1-й тип (множества индивидов), 2-й тип (множества множеств индивидов) и так далее. Формула «x ∈ y» считается осмысленной только если тип x на единицу меньше типа y. Это запрещает образование множеств, подобных «множеству всех множеств», что устраняет парадокс Рассела.

Основные разделы

• Том I: Введение, исчисление высказываний, исчисление предикатов, теория классов, теория отношений.
• Том II: Теория кардинальных чисел, арифметика натуральных чисел, теория конечных и бесконечных мощностей.
• Том III: Общая теория действительных чисел, теория пределов, теория рядов, основы анализа (включая доказательство свойств непрерывности и интегрируемости).

Значение и влияние

В логике

«Principia Mathematica» стала краеугольным камнем математической логики. В работе были строго формализованы:

• Исчисление высказываний
• Исчисление предикатов первого порядка
• Теория классов (аналог теории множеств)
• Теория отношений (основа для реляционных баз данных)

Созданная Уайтхедом и Расселом система нотации и аксиоматизации стала прообразом современных учебников по логике.

В философии математики

Трактат стал главным трудом логицизма — направления, утверждающего, что вся математика является частью логики. Хотя впоследствии теорема Гёделя о неполноте (1931) показала, что ни одна непротиворечивая аксиоматическая система не может быть полной и не может доказать собственную непротиворечивость (что нанесло серьёзный удар по программе Рассела и Уайтхеда), «Principia Mathematica» остаётся величайшей попыткой редукции математики к чистой логике.

В информатике

Работа оказала прямое влияние на разработку первых языков программирования (особенно функциональных, таких как Haskell и Lisp) и формальных методов верификации программ. Принцип типизации, заложенный в теории типов, лёг в основу системы типов современных языков программирования.

В физике и теории познания

Альфред Норт Уайтхед, вдохновлённый успехом формализации, позже предпринял попытку создать формальную систему для описания природы и пространства-времени, что вылилось в его философию процесса. Бертрана Рассела работа привела к повороту от математики к эпистемологии.

Критика

Сложность и объём

Главная претензия к труду — колоссальная громоздкость обозначений и доказательств. Например:

• Доказательство того, что 1+1=2, занимает несколько страниц (на 379-й странице первого тома появляется знаменитая пометка «Отсюда, если 𝒙 = 1 и 𝒚 = 1, то 𝒙+𝒚 = 2»).
• Доказательство простого арифметического тождества (например, ассоциативности сложения) требует десятков страниц вывода.

Курт Гёдель в своей диссертации 1930 года отмечал, что система «Principia» является частным случаем системы, в которой он доказал теорему о неполноте.

Устаревание нотации

Современная математическая логика отказалась от разветвлённой теории типов в пользу более простой теории множеств ZFC (Цермело-Френкеля с аксиомой выбора). Символика трактата почти полностью вышла из употребления.

Философские допущения

Критике подверглась аксиома сводимости — искусственное допущение, введённое Расселом и Уайтхедом для преодоления сложностей разветвлённой теории типов. Многие логики (в том числе Людвиг Витгенштейн) считали её ad hoc-приёмом, подрывающим чистоту логицистского проекта.

Издания и переводы на русский

Первое издание (1910–1913) состояло из трёх томов. Второе издание (1925–1927) содержало новое введение и некоторые исправления, но принципиально не отличалось. Полного перевода на русский язык не существует. Отдельные фрагменты (введение, некоторые главы) публиковались в советских и российских сборниках по истории математической логики (например, в «Логико-философском журнале» или в хрестоматиях «Основания математики»).

Интересные факты

• Книгу можно прочесть полностью — её объём сопоставим с двумя томами «Войны и мира», но плотность информации намного выше. По оценкам историков, её полностью прочитали не более нескольких десятков человек.
• Рассел писал, что однажды, когда он объяснял знакомому, как доказывать в системе утверждение «если a больше b, то a — это не b», тот ответил: «Понимаешь, ты тратишь столетия жизни на то, что любой дурак знает с детства».
• Трактат стал прототипом для чтения компьютеров: в 1960-е годы программа на перфокартах успешно воспроизвела многие доказательства из первого тома.

Источники

• Уайтхед А. Н., Рассел Б. Principia Mathematica. Vol. I–III. Cambridge: Cambridge University Press, 1910–1913.
• Рассел Б. Введение в математическую философию. М.: Факториал, 1996.
• Гёдель К. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем (1930).
• Стилвелл Дж. Математика и её история. Ижевск: ИИЦ «Удмуртский университет», 2004.
• Успенский В. А. Апология математики (сборник статей). М.: МЦНМО, 2002.