Метод планов скоростей и ускорений¶

Метод планов скоростей и ускорений — графоаналитический метод кинематического анализа плоских рычажных механизмов, основанный на построении векторных диаграмм (планов), которые графически отображают уравнения скоростей и ускорений точек звеньев. Метод позволяет определять линейные скорости и ускорения точек, а также угловые скорости и угловые ускорения звеньев для заданного положения механизма.

¶Сущность метода

Метод базируется на теоремах теоретической механики о сложном движении точек. Для каждого положения механизма составляются векторные уравнения, связывающие скорости (ускорения) точек. Эти уравнения решаются графически путём построения планов в выбранном масштабе.

Для скоростей используется уравнение: vB = vA + vBA,

где vB — скорость точки B, vA — скорость точки A (известна), vBA — относительная скорость точки B во вращении вокруг A (перпендикулярна звену AB).

Для ускорений применяется уравнение: aB = aA + aBAⁿ + aBA^τ,

где aBAⁿ — нормальное ускорение (направлено вдоль звена к центру вращения), aBA^τ — тангенциальное ускорение (перпендикулярно звену).

¶Порядок построения

¶План скоростей

1. Выбирается масштабный коэффициент μ_v (м/с·мм).
2. Из полюса плана (точка p) откладывается вектор скорости ведущего звена.
3. Для каждой структурной группы Ассура последовательно решаются векторные уравнения.
4. Через концы векторов проводятся линии направлений неизвестных скоростей; их пересечение даёт искомые точки.

Угловая скорость звена определяется по формуле: ω = v_BA / l_AB, где l_AB — длина звена.

¶План ускорений

1. Выбирается масштабный коэффициент μ_a (м/с²·мм).
2. Из полюса откладывается ускорение точки ведущего звена (для равномерного вращения — только нормальное, направленное к оси вращения).
3. Для каждой точки вычисляется и откладывается нормальное ускорение (величина известна: aⁿ = ω²·l), затем проводится линия направления тангенциального ускорения.
4. Пересечение линий определяет полное ускорение точки.

Угловое ускорение: ε = a_BA^τ / l_AB.

¶Применение

Метод планов применяется при кинематическом исследовании плоских рычажных механизмов: кривошипно-ползунных, кулисных, шарнирных четырёхзвенников, синусных и тангенсных механизмов. Он используется для:

• определения скоростей и ускорений рабочих органов машин (поршней, ползунов, толкателей);
• расчёта сил инерции звеньев при силовом анализе;
• проверки результатов аналитических расчётов;
• построения кинематических диаграмм (путей, скоростей, ускорений) для одного цикла движения.

Метод нагляден, не требует сложных вычислений и при аккуратном построении обеспечивает точность 2–5 %, достаточную для инженерной практики. В учебном процессе он является базовым при изучении курса «Теория механизмов и машин».

¶Достоинства и недостатки

К достоинствам относятся простота, наглядность, возможность быстрой оценки кинематических параметров без составления уравнений в аналитической форме. Метод хорошо иллюстрирует физическую сущность относительного движения звеньев.

Недостатки: необходимость перестраивать планы для каждого нового положения механизма (трудоёмкость при исследовании полного цикла), ограниченная точность, применимость только к плоским механизмам. Для пространственных механизмов и задач с большим числом положений предпочтительны аналитические методы и компьютерное моделирование.

¶История

Графические методы кинематики развивались в XIX веке в связи с развитием машиностроения. Значительный вклад внесли русские учёные: В. Л. Кирпичёв, Н. Е. Жуковский (разработал метод рычага для силового анализа, тесно связанный с планами скоростей), Л. В. Ассур (создал классификацию структурных групп, на которых основана последовательность построения планов). В советский период метод был систематизирован в трудах И. И. Артоболевского и стал стандартным инструментом инженерных расчётов.

¶Литература

• Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1988.
• Левитская О. Н., Левитский Н. И. Курс теории механизмов и машин. — М.: Высшая школа, 1985.
• Фролов К. В., Попов С. А. и др. Теория механизмов и машин. — М.: Высшая школа, 2003.