Открыть сервис
Главная → Блог → Метод ВКБ

Метод ВКБ

Метод ВКБ (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — это приближённый метод решения задач квантовой механики, применяемый для нахождения приближённых решений стационарного уравнения Шрёдингера в случаях, когда потенциал меняется медленно по сравнению с длиной волны де Бройля. Метод также известен как квазиклассическое приближение, приближение ВКБ, метод ВКБ или метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна. Он позволяет получить асимптотические разложения волновых функций и энергетических уровней для систем, где классическое действие значительно больше постоянной Планка.

История

Метод ВКБ был разработан независимо несколькими физиками в начале XX века. Основные идеи восходят к работам Грегора Вентцеля (Германия), Хендрика Антони Крамерса (Нидерланды) и Леона Бриллюэна (Франция), которые в 1926 году опубликовали свои варианты метода. Вентцель и Бриллюэн предложили использовать асимптотические разложения для волновых функций, а Крамерс ввёл понятие точек поворота и условия сшивки решений. В англоязычной литературе метод часто называют WKB (Wentzel — Kramers — Brillouin), хотя в русскоязычной традиции сохраняется аббревиатура ВКБ. Впоследствии метод был обобщён и уточнён, в том числе для многомерных систем и задач рассеяния.

Основные положения

Метод ВКБ основан на предположении, что волновая функция может быть представлена в виде экспоненты с медленно меняющейся амплитудой и фазой. Для одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi \]

где \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка, \(m\) — масса частицы, \(V(x)\) — потенциальная энергия, \(E\) — полная энергия, решение ищется в виде:

\[ \psi(x) = \exp\left( \frac{i}{\hbar} S(x) \right) \]

где \(S(x)\) — комплексная функция, называемая действием. Подстановка этого выражения в уравнение Шрёдингера приводит к уравнению для \(S(x)\):

\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dS}{dx} \right)^2 + V(x) - E = \frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2S}{dx^2} \]

В квазиклассическом приближении пренебрегают членом порядка \(\hbar\) (второй производной \(S\)), что даёт классическое уравнение Гамильтона — Якоби:

\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_0}{dx} \right)^2 + V(x) = E \]

Решение этого уравнения даёт классическое действие \(S_0(x) = \pm \int \sqrt{2m(E - V(x))} \, dx\). Затем учитываются поправки следующего порядка по \(\hbar\), что приводит к выражению для волновой функции в виде:

\[ \psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int p(x) \, dx \right) \]

где \(p(x) = \sqrt{2m(E - V(x))}\) — классический импульс, \(C\) — нормировочная константа. Это выражение справедливо в областях, где \(E > V(x)\) (классически разрешённая область). В областях, где \(E < V(x)\) (классически запрещённая область), импульс становится мнимым, и решение принимает вид экспоненциально затухающей или растущей функции:

\[ \psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( \pm \frac{1}{\hbar} \int |p(x)| \, dx \right) \]

Точки поворота

Особую сложность представляют точки, где \(E = V(x)\), называемые точками поворота. Вблизи этих точек квазиклассическое приближение нарушается, так как импульс обращается в нуль. Для получения непрерывного решения через точку поворота используются специальные функции Эйри и условия сшивки. Стандартное правило сшивки для одномерного случая гласит: при переходе из классически разрешённой области в запрещённую фаза волновой функции изменяется на \(\pi/4\). Это приводит к квантованию энергии в связанных состояниях.

Условие квантования Бора — Зоммерфельда

Для связанных состояний в одномерной потенциальной яме метод ВКБ даёт условие квантования Бора — Зоммерфельда:

\[ \oint p(x) \, dx = 2\pi\hbar \left( n + \frac{1}{2} \right) \]

где интеграл берётся по полному периоду классического движения (от одной точки поворота до другой и обратно), \(n = 0, 1, 2, \dots\) — квантовое число. Поправка \(1/2\) возникает из-за фазового сдвига в точках поворота. Это условие позволяет приближённо находить энергетические уровни для систем с плавными потенциалами.

Применение

Метод ВКБ широко применяется в различных областях физики:

Ограничения и точность

Метод ВКБ является асимптотическим и даёт точные результаты в пределе \(\hbar \to 0\) (или, что эквивалентно, при больших квантовых числах \(n\)). Для низких квантовых чисел (например, основного состояния) погрешность может быть значительной. Метод неприменим вблизи точек поворота без специальных процедур сшивки, а также в случаях, когда потенциал имеет резкие скачки или особенности. Для многомерных систем метод ВКБ усложняется и требует учёта топологии классических траекторий.

Примеры

Гармонический осциллятор

Для гармонического осциллятора с потенциалом \(V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\) условие квантования Бора — Зоммерфельда даёт точные значения энергий: \(E_n = \hbar \omega (n + 1/2)\). Это совпадение с точным решением является следствием того, что для квадратичного потенциала метод ВКБ даёт точный результат.

Потенциальный барьер

Для прямоугольного потенциального барьера высотой \(V_0\) и шириной \(a\) метод ВКБ позволяет оценить коэффициент туннелирования \(T \approx \exp\left( -\frac{2a}{\hbar} \sqrt{2m(V_0 - E)} \right)\), что совпадает с точным результатом в пределе высокого и широкого барьера.

Литература

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.
  • Гольдман И. И., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой механике. — М.: ГИТТЛ, 1957.
  • Фрёман Н., Фрёман П. У. Метод ВКБ. — М.: Мир, 1967.
  • Бриллюэн Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1952.

BFOmetr — база данных и аналитика по компаниям России.

На главную BFOmetr →

Похожие материалы