Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера — это фундаментальное линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение во времени и в пространстве квантового состояния физической системы, задаваемого волновой функцией. Является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, играя для неё ту же роль, что второй закон Ньютона для классической механики или уравнения Максвелла для электродинамики. Сформулировано австрийским физиком Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

История открытия

В начале XX века классическая физика столкнулась с кризисом при описании явлений микромира. Квантовая гипотеза Макса Планка (1900) и корпускулярно-волновой дуализм, постулированный Луи де Бройлем (1924), требовали нового математического аппарата. В 1925 году Вернер Гейзенберг разработал матричную механику, однако её формализм был сложен для физиков, привыкших к дифференциальным уравнениям.

Эрвин Шрёдингер, вдохновившись идеей де Бройля о волнах материи, в 1926 году опубликовал серию из четырёх статей, в которых вывел волновое уравнение для квантовых систем. Первая статья «Квантование как задача о собственных значениях» (часть I) была представлена 27 января 1926 года. В ней Шрёдингер показал, что стационарные состояния атома водорода могут быть получены как собственные функции его уравнения. Впоследствии он доказал математическую эквивалентность своего волнового подхода матричной механике Гейзенберга.

Формулировка

Уравнение Шрёдингера существует в двух основных формах: временной (зависит от времени) и стационарной (не зависит от времени).

Временное уравнение Шрёдингера

Общий вид временного уравнения Шрёдингера для одной частицы массы \( m \) в потенциальном поле \( V(\mathbf{r}, t) \):

\[ i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) \]

где:

• \( \Psi(\mathbf{r}, t) \) — волновая функция (комплексная величина),
• \( \hbar = h / 2\pi \) — редуцированная постоянная Планка,
• \( \nabla^2 \) — оператор Лапласа,
• \( i \) — мнимая единица.

Это уравнение описывает эволюцию квантовой системы во времени. Оно является линейным, что позволяет использовать принцип суперпозиции: любая линейная комбинация решений также является решением.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Для систем, в которых потенциальная энергия не зависит от времени (\( V(\mathbf{r}) \)), решение может быть представлено как произведение пространственной и временной частей:

\[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-i E t / \hbar} \]

Подстановка этого выражения во временное уравнение приводит к стационарному уравнению:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \]

или в операторной форме:

\[ \hat{H} \psi = E \psi \]

где \( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \) — оператор Гамильтона (гамильтониан), а \( E \) — собственное значение энергии. Решение стационарного уравнения даёт набор собственных функций \( \psi_n \) и соответствующих им собственных значений энергии \( E_n \), которые определяют возможные энергетические уровни системы.

Физическая интерпретация

Вероятностная интерпретация Макса Борна

Вскоре после публикации уравнения Макс Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции. Согласно этой интерпретации, квадрат модуля волновой функции \( |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 \) определяет плотность вероятности обнаружения частицы в точке \( \mathbf{r} \) в момент времени \( t \). Сама волновая функция не является непосредственно наблюдаемой величиной, а представляет собой математический объект, содержащий полную информацию о состоянии системы.

Принцип неопределённости

Уравнение Шрёдингера находится в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга. Волновая функция, локализованная в пространстве (узкий волновой пакет), имеет широкий спектр импульсов, и наоборот. Это соотношение является следствием волновой природы квантовых объектов и не связано с несовершенством измерительных приборов.

Применение

Атомная и молекулярная физика

Уравнение Шрёдингера лежит в основе расчёта электронных структур атомов и молекул. Для атома водорода оно решается точно, давая квантовые числа \( n, l, m \) и объясняя спектральные серии (Лаймана, Бальмера, Пашена). Для многоэлектронных систем применяются приближённые методы, такие как метод Хартри — Фока и теория функционала плотности.

Квантовая химия

В квантовой химии уравнение Шрёдингера используется для расчёта химических связей, реакционной способности и спектроскопических свойств молекул. Современные программные пакеты (Gaussian, VASP, ORCA) численно решают уравнение для систем с сотнями и тысячами атомов.

Физика твёрдого тела

В твёрдотельной физике уравнение Шрёдингера с периодическим потенциалом (теорема Блоха) объясняет зонную структуру кристаллов, разделение на проводники, полупроводники и диэлектрики. Оно используется при проектировании транзисторов, лазеров и солнечных батарей.

Квантовая информатика

В квантовых вычислениях уравнение Шрёдингера описывает эволюцию кубитов. Квантовые гейты реализуются как унитарные преобразования, подчиняющиеся уравнению. Ограничением является декогеренция — разрушение квантового состояния из-за взаимодействия с окружением.

Ограничения и обобщения

Уравнение Шрёдингера является нерелятивистским, то есть справедливо для скоростей, много меньших скорости света. Для релятивистских частиц используются уравнение Дирака (для фермионов со спином 1/2) и уравнение Клейна — Гордона (для бозонов). Кроме того, уравнение не описывает процессы рождения и уничтожения частиц — для этого требуется квантовая теория поля.

При рассмотрении систем с большим числом частиц (конденсированное состояние) прямое решение уравнения становится невозможным из-за экспоненциального роста вычислительной сложности. В таких случаях применяют приближения (теория возмущений, метод функционала плотности) или переходят к описанию в терминах квантовой статистики.

Математические аспекты

Уравнение Шрёдингера относится к классу параболических дифференциальных уравнений (по аналогии с уравнением теплопроводности, но с мнимой единицей). Его решения обладают свойством унитарности: норма волновой функции сохраняется во времени, что соответствует сохранению полной вероятности.

Для стационарного уравнения задача сводится к задаче на собственные значения для самосопряжённого оператора (гамильтониана). Это гарантирует вещественность собственных значений энергии и ортогональность собственных функций. В случае непрерывного спектра (например, для свободной частицы) решениями являются плоские волны, которые не нормируемы в обычном смысле и нормируются на дельта-функцию Дирака.

Критика и альтернативные интерпретации

Хотя уравнение Шрёдингера является общепризнанным рабочим инструментом физики, его интерпретация остаётся предметом дискуссий. Основные споры касаются природы коллапса волновой функции — перехода от суперпозиции состояний к определённому результату измерения.

Основные интерпретации квантовой механики:

• Копенгагенская интерпретация (Нильс Бор, Вернер Гейзенберг): волновая функция описывает состояние знания наблюдателя, коллапс происходит в момент измерения.
• Многомировая интерпретация (Хью Эверетт, 1957): все возможные исходы измерения реализуются в разных ветвях реальности, коллапс отсутствует.
• Интерпретация де Бройля — Бома (пилот-волна): частицы имеют определённые траектории, управляемые волновой функцией; уравнение Шрёдингера описывает эволюцию этой волны.

Ни одна из интерпретаций не противоречит математическому формализму уравнения, однако экспериментально различить их пока не удаётся.

Источники

• Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) // Annalen der Physik. — 1926. — Bd. 384, Nr. 4. — S. 361–376.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физматлит, 2004. — 800 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Dirac P. A. M. The Principles of Quantum Mechanics. — Oxford University Press, 1958. — 314 p.
• Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3: Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 1965.