Многообразие Калаби — Яу

Многообразие Калаби — Яу — это компактное комплексное кэлерово многообразие с тривиальным каноническим классом. В более узком смысле, под многообразиями Калаби — Яу часто понимают риччи-плоские кэлеровы многообразия, то есть такие, у которых тензор кривизны Риччи равен нулю. Эти объекты занимают центральное место в дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и теоретической физике, в частности в теории струн.

История

Гипотеза Калаби

В 1954 году итальянский математик Эудженио Калаби выдвинул гипотезу: любое компактное кэлерово многообразие с тривиальным классом первой формы Черна допускает метрику Кэлера — Эйнштейна с нулевой скалярной кривизной. Иными словами, на таком многообразии существует риччи-плоская кэлерова метрика. Калаби также доказал единственность такой метрики при фиксированном кэлеровом классе.

Доказательство Яу

В 1976 году китайско-американский математик Шинтан Яу (Шин-Тун Яу) доказал гипотезу Калаби, установив существование искомой метрики. За это доказательство, а также за последующие работы в области дифференциальной геометрии, Яу был удостоен Филдсовской премии в 1982 году. Доказательство опиралось на решение сложного нелинейного уравнения в частных производных — уравнения Монжа — Ампера на кэлеровом многообразии.

Название

Термин «многообразие Калаби — Яу» был введён в обиход физиками-теоретиками в 1980-х годах, когда эти объекты стали активно использоваться в теории струн. До этого в математике они назывались «кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим классом» или «риччи-плоскими кэлеровыми многообразиями».

Определение и основные свойства

Формальное определение

Пусть \( M \) — компактное комплексное многообразие комплексной размерности \( n \). Оно называется многообразием Калаби — Яу, если выполнены следующие условия:

1. \( M \) является кэлеровым многообразием (существует кэлерова метрика).
2. Первый класс Черна \( c_1(M) \) равен нулю в группе когомологий \( H^2(M, \mathbb{R}) \).
3. Канонический класс \( K_M \) тривиален: существует голоморфная форма объёма \( \Omega \), нигде не обращающаяся в нуль.

Следствия

• Риччи-плоскость: Из гипотезы Калаби — Яу следует, что на таком многообразии существует кэлерова метрика с нулевым тензором Риччи.
• Голономия: Группа голономии риччи-плоской метрики на многообразии Калаби — Яу комплексной размерности \( n \) является подгруппой группы \( SU(n) \). Для неприводимых многообразий (не являющихся прямым произведением) голономия в точности равна \( SU(n) \).
• Специальная голономия: Многообразия Калаби — Яу относятся к одному из классов многообразий со специальной голономией, классифицированных Марселем Берже в 1955 году. Другие классы включают гиперкэлеровы многообразия (голономия \( Sp(n) \)) и многообразия \( G_2 \) и \( Spin(7) \).

Классификация и примеры

Размерность 1

Единственным компактным комплексным многообразием размерности 1 с тривиальным каноническим классом является комплексный тор. Он представляет собой фактор комплексной плоскости \( \mathbb{C} \) по решётке ранга 2. Его голономия тривиальна (подгруппа \( SU(1) \)), и он является риччи-плоским.

Размерность 2 (K3-поверхности)

В комплексной размерности 2 многообразия Калаби — Яу называются K3-поверхностями. Они являются односвязными компактными комплексными поверхностями с тривиальным каноническим классом. Все K3-поверхности диффеоморфны, но существуют различные комплексные структуры. Примером является квартика Ферма в комплексном проективном пространстве \( \mathbb{CP}^3 \), задаваемая уравнением \( x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 0 \). K3-поверхности имеют голономию \( SU(2) \), что эквивалентно группе \( Sp(1) \), поэтому они также являются гиперкэлеровыми многообразиями.

Размерность 3

Наиболее изученными являются трёхмерные многообразия Калаби — Яу, или 3-многообразия Калаби — Яу. Они играют ключевую роль в теории струн. Примеры:

• Квинтика в \( \mathbb{CP}^4 \): Гиперповерхность степени 5, задаваемая однородным многочленом пятой степени, например \( x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0 \). Это одно из первых явно построенных трёхмерных многообразий Калаби — Яу.
• Пересечения полных пересечений (CICY): Многообразия, задаваемые как пересечения нескольких гиперповерхностей в проективных пространствах. Классификация таких многообразий была выполнена в 1980-х годах.
• Рефлексивные многогранники: Метод построения многообразий Калаби — Яу как многообразий торовых вырождений, основанный на рефлексивных многогранниках. Этот подход, развитый Виктором Батйревым, позволяет генерировать огромное количество примеров (десятки тысяч).

Числа Ходжа

Важными инвариантами многообразий Калаби — Яу являются числа Ходжа \( h^{p,q} \). Для трёхмерных многообразий Калаби — Яу характерны следующие соотношения:

• \( h^{0,0} = h^{3,0} = 1 \)
• \( h^{1,0} = h^{2,0} = 0 \)
• \( h^{1,1} \) и \( h^{2,1} \) — независимые числа, определяющие топологию многообразия.
• \( h^{1,1} \) соответствует размерности пространства кэлеровых классов, а \( h^{2,1} \) — размерности пространства комплексных деформаций.

Например, для квинтики в \( \mathbb{CP}^4 \) числа Ходжа равны \( h^{1,1} = 1 \), \( h^{2,1} = 101 \).

Применение в физике

Теория струн

В теории струн, особенно в гетеротической струне и теории типа II, предполагается, что дополнительные пространственные измерения (кроме известных трёх) компактифицированы на многообразие Калаби — Яу. Это позволяет сохранить \( \mathcal{N} = 1 \) суперсимметрию в четырёхмерном пространстве-времени, что важно для феноменологических моделей.

Зеркальная симметрия

Одним из важнейших открытий в теории струн стала зеркальная симметрия: каждой трёхмерной паре многообразий Калаби — Яу \( M \) и \( W \) сопоставляется зеркальная пара, такая что \( h^{1,1}(M) = h^{2,1}(W) \) и \( h^{2,1}(M) = h^{1,1}(W) \). Это означает, что физические теории, компактифицированные на зеркальных многообразиях, эквивалентны. Зеркальная симметрия позволила решить многие задачи в алгебраической геометрии, такие как подсчёт числа рациональных кривых на многообразиях Калаби — Яу.

Модули

Многообразия Калаби — Яу имеют пространства модулей — параметрические семейства, описывающие возможные деформации комплексной структуры (параметры \( h^{2,1} \)) и кэлеровой структуры (параметры \( h^{1,1} \)). В физике эти модули соответствуют безмассовым скалярным полям в четырёхмерной теории, что может приводить к проблемам (например, к появлению модульных полей, не наблюдаемых экспериментально). Для их стабилизации используются механизмы, такие как потоки и негеометрические компактификации.

Интересные факты

• Число многообразий: На сегодняшний день известно несколько десятков тысяч топологически различных трёхмерных многообразий Калаби — Яу, но точное число неизвестно. Предполагается, что оно конечно.
• Связь с теорией чисел: Многообразия Калаби — Яу используются для построения мотивов и в программе Ленглендса. Например, квинтика связана с модулярными формами.
• Название в честь Яу: Шинтан Яу, несмотря на свою известность, не был первым, кто предложил название «многообразие Калаби — Яу». Оно было введено физиками, а сам Яу предпочитал термин «многообразие Калаби».
• Гипотеза Калаби — Яу в размерности 4: В размерности 4 существуют примеры, такие как многообразия \( G_2 \) и \( Spin(7) \), но они не являются кэлеровыми, поэтому не относятся к классическим многообразиям Калаби — Яу.

Источники

• Calabi, E. (1954). The space of Kähler metrics. Proceedings of the International Congress of Mathematicians.
• Yau, S.-T. (1978). On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. Communications on Pure and Applied Mathematics.
• Gross, M., Huybrechts, D., Joyce, D. (2003). Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. Springer.
• Candelas, P., Horowitz, G., Strominger, A., Witten, E. (1985). Vacuum configurations for superstrings. Nuclear Physics B.
• Hübsch, T. (1992). Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists. World Scientific.